Переход от одного базиса к другому

Пусть — -мерное векторное пространство над полем с некоторыми базисами и .

Векторы одного базиса можно выразить через векторы другого:

.

Определение 4. Матрица, определенная коэффициентами вышеприведенного разложения

,

называется матрицей перехода⁷⁾ от базиса к базису .

Замечание 1. Координаты вектора относительно базиса образуют -й столбец матрицы .

Предложение 3. Пусть вектор имеет координаты в базисе и координаты в базисе . При переходе от базиса к базису координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты в старом базисе по формуле:

,

где — матрица, обратная к .