Элементарные преобразования матрицы

Определение 3. Элементарными преобразованиями³⁾ строк матрицы называются преобразования следующих трех типов:

1. перестановка двух строк,

2. прибавление к одной строке другой, умноженной на число,

3. умножение строки матрицы на ненулевое число.

Предложение 1. Элементарные преобразования строк матрицы не меняют ее горизонтальный ранг.

Определение 4. Матрица называется ступенчатой⁴⁾, если

1. Номера первых ненулевых элементов в строках матрицы образуют строго возрастающую последовательность,

2. Нулевые строки матрицы, если они есть, стоят в конце.

Таким образом, ступенчатая матрица имеет вид

Предложение 2. Горизонтальный ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Предложение 3. Каждую матрицу путем элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.

Пример 2. Приведем матрицу

к ступенчатому виду. Прибавив к строкам 2, 3, 4 первую строку, умноженную на -1, -2, -2, соответственно, получим матрицу

.

Прибавляя к строкам 3 и 4 вторую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно, получим

.

Переставляя две последние строки, получаем матрицу ступенчатого вида

.

Горизонтальный ранг этой матрицы равен 3, поэтому горизонтальный ранг исходной матрицы также равен 3.