Минорный ранг

Определение 5. Число называется минорным рангом⁵⁾ матрицы , если

1. найдется ненулевой минор порядка матрицы ,

2. все миноры матрицы порядка нулевые.

Пример 3. Найдем минорный ранг матрицы

.

Будем использовать метод окаймляющих миноров.

Выберем ненулевой минор порядка 1, построенный на первой строке и первом столбце матрицы.

Найдем ненулевой минор второго порядка , окаймляющий , то есть содержащий первую строку и первый столбец матрицы. Например, , построенный на 1-й и 2-й строках, 1-м и 4-м столбцах.

Далее ищем ненулевой минор третьего порядка , окаймляющий . Добавим к 1-й и 2-й строкам 4-ю строку, а к 1-му и 4-му столбцам — 2-й столбец. Получим .

Перебираем окаймляющие миноры 4-го порядка:
на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 3-м, 4-м столбцах:

,

на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 4-м, 5-м столбцах:

.

То есть все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка ненулевой, поэтому минорный ранг матрицы равен 3.

Теорема 1. Для матрицы ее минорный, горизонтальный и вертикальный ранг равны.

Определение 6. Число, равное горизонтальному, вертикальному или минорному рангу матрицы , называется рангом⁶⁾ матрицы и обозначается через .