Определители высших порядков

Задача 3. Вычислить определитель

.

Решение. Применяя теорему Лапласа, разложим определитель по первым двум строкам. Перечислим все миноры порядка 2, построенные на 1-й и 2-й строках:

1. на 1-м и 2-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+2.

2. на 1-м и 3-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 3-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+3.

3. на 1-м и 4-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 4-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+4.

4. на 2-м и 3-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 3-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+3.

5. на 2-м и 4-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 4-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+4.

6. на 3-м и 4-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 3-го и 4-го столбца исходного определителя: </latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+3+4.

Согласно теореме Лапласа, нужно умножить каждый минор на его алгебраическое дополнение и просуммировать результат: .

Задача 4. Вычислить определитель

.

Решение. С помощью перестановки строк приведем определитель к такому виду, чтобы ненулевые элементы стояли на главной диагонали. Последовательно меняя соседние строки, переместим первую строку вниз. При этом будет выполнена перестановка. Поэтому (см.предложение 2).

Таким же образом переместим верхнюю строчку полученного определителя на -е место. При этом будет произведено операции, и определитель примет вид .

Произведя такую процедуру раз, получим определитель . (Для вычисления определителя верхнетреугольной матрицы применили предложение 7.)

Задача 5. Вычислить определитель .

Решение. Используя элементарные преобразования, приведем матрицу определителя к нижнетреугольному виду. А именно, вычтем из -й строки -ю. Затем из -й -ю, и т.д., наконец, вычтем из второй строки первую. В результате таких преобразований, согласно предложению 6, определитель не изменится, поэтому

.

Теперь, как в предыдущей задаче поменяем строки местами так, чтобы матрица определителя стала нижнетреугольной.

.