Среднее квадратической отклонение

Среднее квадратической отклонение рассчитывается на базе средней квадратической величины. Оно выступает в не взвешенной (простой) и взвешенной формах.

Для ранжированного ряда рассчитывают невзвешенное (простое) среднее квадратической отклонение по следующей формуле:

(6.19)

где - среднее квадратической отклонение вариационного признака; х – индивидуальные варианты в ранжированном ряду; - среднее значение признака в статистической совокупности; n – число вариант в ряду.

Взвешенное среднее квадратической отклонение рассчитывают для дискретного ряда:

(6.20)

где f_х – частота (веса) в вариационном ряду.

Последовательность расчёта взвешенного среднего квадратического отклонения состоит в следующем:

1. По данным дискретного или интервального вариационного ряда находят среднее арифметическое взвешенное значение признака – ().

2. Рассчитывают индивидуальные линейные отклонения по каждой варианте –

3. Полученные линейные отклонения вариант возводят в квадрат -

4. Квадраты линейных отклонений взвешивают - и суммируют - .

5. Находят сумму накопленных частот (весов) - (Σ f).

6. Сумму взвешенных квадратов делят на сумму накопленных частот (весов) - полученный результат представляет собой средний квадрат отклонений (дисперсию).

Дисперсия как показатель колеблемости признака не играет какой-либо самостоятельной роли при оценке вариации признака в статистической совокупности. Вместе с тем дисперсия представляет собой особый интерес при рассмотрении и применении дисперсионного метода.

7. Из среднего квадрата отклонений (дисперсии) извлекают квадратный корень, в результате чего получаем среднее квадратическое отклонение.

Целесообразно обратить внимание на то, что среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варианты изучаемого признака в статистической совокупности. Оно характеризует среднюю колеблемость вариант в этой совокупности и широко используется в качестве одного из более точных и объективных показателей вариации не только в статистике, но и в технике, биологии, других отраслях знаний.

Допустим, необходимо рассчитать и оценить вариацию годового удоя молока на одну корову в крестьянских хозяйствах с помощью среднего квадратического отклонения. Исходные данные приведенные в табл. 6.10.

 

Т а б л и ц а 6. 10. Годовой удой в крестьянских хозяйствах

 

№ п. п.	Интервалы по удою, тыс. кг/гол.	Число коров	№ п. п.	Интервалы по удою, тыс. кг/гол.	Число коров
	3,0-3,5			4,5-5,0
	3,5-4,0			5,0-5,5
	4,0-4,5			5,5-6,0

 

Данные табл. 6.10 представлены в виде интервального ряда распределения. Следовательно, среднее квадратическое отклонение годового удоя необходимо рассчитывать по взвешенно форме (формула 6.19). из этой формулы следует, что прежде всего необходимо найти средний годовой удой по всей совокупности. Последовательность расчёта вспомогательных показателей для нахождения среднего годового удоя коров с применением основных свойств средней арифметической величины показан в табл. 6.11. при этом целесообразно обратить внимание на то, что с учётом применения второго и третьего свойств формула среднего годового удоя коров выглядит следующим образом:

Т а б л и ц а 6. 11. Порядок нахождения вспомогательных показателей

для расчёта среднего годового удоя коров

 

№ п. п.	Интервалы по удою, тыс.кг/гол.	Число коров	Середина интервалов, тыс. кг/гол.	Второе свойство средней	Третье свойство средней	Взвешивание годового удоя с учетом свойств
		f	X		X-4,25	(Х-4,25)
	3,0-3,5		3,25		-1,0	-1
	3,5-4,0		3,75		-0,5	-1
	4,0-4,5		4,25		0,0
	4,5-5,0		4,75		0,5
	5,0-5,5		5,25		1,0
Продолжение таблицы
	5,5-6,0		5,75		1,5
		-		-

 

Подставим полученные данные (табл. 6.11) в формулу 6.20:

Теперь перейдем к расчёту вспомогательных показателей для нахождения среднего квадратического отклонения по годовому удою коров. Последовательность этого расчёта приведена в табл. 6.12. С учётом применения второго свойства средней формула квадратического отклонения по годовому удою коров приобретает следующий вид:

(6.21)

Т а б л и ц а 6. 12. Вспомогательные расчёты для нахождения среднего квадратического отклонения по годовому удою коров

 

№ п. п.	Середина интервалов, тыс. кг/гол.	Число коров	Второе свойство средней	Индивидуальное линейное отклонения	Квадраты линейн. отклонений	Взвешенные квадраты линейн. отклонений
	X	f
	3,25			-1,4	1,96	1,96
	3,75			-0,9	0,81	1,62
	4,25			-0,4	0,16	0,48
	4,75			0,1	0,01	0,04
	5,25			0,6	0,36	1,08
	5,75			1,1	1,21	2,42
ИТОГО			-	-	7,60

 

Необходимые данные, содержащиеся в табл. 6.12, подставим в формулу 6.21, получим:

Таким образом, среднее квадратическое отклонение годового удоя на одну корову в 1500 крестьянских хозяйствах составило 0,71 тыс. (710) кг молока. Это довольно значительные внутренние колебания годового удоя коров в статистической совокупности.