Двухфакторный дисперсионный комплекс
Решение этого комплекса направленно на изучение качественного влияния двух факторных признаков влияния двух факторных признаков на один или несколько результативных признаков. Двухфакторный комплекс по существу является продолжением приема комбинированной аналитической группировки, где в качестве основания одновременно выступают два группировочных признака.
При изучении одновременного действия двух факторов прежде всего необходимо учесть влияние суммарного воздействия изучаемых признаков – факторов на результативные признаки. Определив силу и достоверность совместного влияния факторов, необходимо выяснить качество изучаемого фактора отдельно при неизменном действии второго фактора.
Решение двухфакторного дисперсионного комплекса начинается с расчёта объема общей вариации как суммы квадратов отклонений всех вариант результативного признака от общей средней варианты в выборочной статистической совокупности. Затем находят частные средние по всем группам и подгруппам, суммы квадратов отклонений индивидуальных вариант от групповых средних значений. Общая сумма этих сумм является величиной случайной вариации. После этого рассчитывают объем вариации, обусловленной суммарным воздействием двух изучаемых факторов как сумму квадратов отклонений групповых средних значений от общей средней варианты результативного признака, при этом квадраты отклонений по каждой группе взвешиваются на соответствующие частоты. Далее следуют операции по решению двухфакторного дисперсионного комплекса: расчёт объема частных факторных вариаций и вариаций по сочетанию факторов, определение числа степеней свободы, соответствующих дисперсий, фактического F – критерия и коэффициентов «существенности» влияния признаков – факторов на признаки – результаты.
Решение двухфакторного дисперсионного комплекса покажем на конкретном примере. Допустим, в результате выборочного наблюдения накоплена статистическая информация об уборочной площади зерновых культур, среднесезонном числе зерноуборочных комбайнов, продолжительности уборки (в днях) и урожайности зерновых культур в 100 сельскохозяйственных предприятиях. Необходимо определить качество (существенность) зависимости урожайности зерновых культур от нагрузки уборочной площади на один среднесезонный комбайн и продолжительности уборки этих культур. По исходным данным и условию задания видно, что факторными являются два признака – нагрузка площади и продолжительность уборки, а результатом – урожайность зерновых культур. Следовательно, для достижения поставленной цели целесообразно решить двухфакторный дисперсионный комплекс.
Решение комплекса целесообразно разделить на несколько этапов.
Первый этап, аналогично однофакторному дисперсионному приему, состоит в разложении вариации урожайности зерновых культур по факторам которые обусловили колеблемость этой урожайности. Поэтому необходимо рассчитать следующие виды вариации: общую, обусловленную влиянием всего комплекса факторов на урожайность; систематическую, вызванную изменением двух изучаемых факторов (нагрузки посевных площадей на один комбайн и продолжительностью уборки культур), случайную вариацию, которая сформировалась за счёт остальных факторов.
Общую вариацию урожайности зерновых культур в 100 сельскохозяйственных предприятиях можно рассчитать по формуле 10.1, для чего воспользуемся (макетом) рабочей табл. 9.7.
Из данных табл. 9.7 видно, что при средней урожайности зерновых культур по всей выборке в целом у =ц/га объем общей вариации урожайности составил Wобщ= 16,2. Эту вариацию необходимо разложить на две факторные и остаточную.
Т а б л и ц а 9.7. Расчёт объема общей вариации урожайности зерновых культур в сельскохозяйственных предприятиях
| № хозяйства | Урожайность, ц/га | Линейные отклонения индивидуальной урожайности от средней, ц/га | Квадраты линейных отклонений урожайности |
| у | 
| 
| |
| -10 | |||
| -2 | |||
| … | … | … | … |
| -8 | |||
Σ  =30
|
Для расчета обоих факторных вариаций целесообразно прежде всего привести результаты комбинированной аналитической группировки, основанием которой являются два фактора: во-первых, нагрузка уборочной площади зерновых культур на один комбайн; во-вторых, продолжительность уборки этих культур в 100 сельскохозяйственных предприятиях. Эти данные ( с округлением) приведены в результативной табл. 9.8.
Т а б л и ц а 9. 8. Зависимости урожайности зерновых культур от нагрузки посевов и продолжительность их уборки
| Группы хозяйств по нагрузке посевов на 1 комбайн, га | Подгруппы хозяйств по продолжительности уборки, дней | Число хозяйств | Средняя нагрузка посевов на 1 комбайн, га | Средняя продолжительность уборки, дней | Средняя урожайность зерновых культур, ц/га |
| До 100 | 1. до 20 | ||||
| 2. 21 –30 | |||||
| 3. 31 и более | |||||
| Итого (в среднем) | |||||
| 101 -150 | 4. до 20 | ||||
| 5. 21 –30 | |||||
| 6. 31 и более | |||||
| Итого (в среднем) | |||||
| Продолжение таблицы | |||||
| 151 и более | 7. до 20 | ||||
| 8. 21 –30 | |||||
| 9. 31 и более | |||||
| Итого (в среднем) | |||||
| Итого (в среднем) |
Данные табл. 9.8. показывают, что повышение нагрузки уборочной площади зерновых культур на один комбайн (в группах) и увеличение продолжительности их уборки ( в подгруппах) приводит к снижению урожайности культур в сельскохозяйственных предприятиях. Однако, это еще не означает, что такая закономерность всегда носит существенный характер. Именно поэтому для оценки значимости (существенности) влияния каждого из двух изучаемых факторов (нагрузки и продолжительности), действующих в одном направлении, необходимо рассчитать объем систематической вариации, вызванной прежде всего влиянием нагрузки уборочной площади на урожайность зерновых культур в сельскохозяйственных предприятиях. Этот расчет выполняем по формуле 9.2. применительно к данным табл. 9.8 в расчёт необходимо включать следующие данные: число хозяйств в каждой группе (f1), среднюю урожайность в каждой группе (
гр) и средднюю урожайность по всей выборочной совокупности (). Результаты расчета систематической вариации, сформировавшиеся за счет влияния первого фактора (нагрузки уборочной площади) на урожайность зерновых культур, приведенные в табл. 9.9.
Т а б л и ц а 9. 9. Расчёт объема факторной вариации урожайности за счет влияния нагрузки посевов зерновых культур
| № группы | Число хозяйств в группе | Средняя урожайность зерновых культур, ц/га | Линейные отклонения урожайности от средней, ц/га | Квадраты отклонений | Взвешенные квадраты линейных отклонений |
| f1 | гр
| гр -
| (- )2
| (- )2 f1
| |
| 3,0 | |||||
| -10 | 3,0 | ||||
| Σ | - | - | 6,0 |
Данные табл. 9.9. показывают, что объем статистической вариации, вызванной влиянием нагрузки уборочной площади на урожайность зерновых культур, составил 6.
Далее необходимо найти объем статистической вариации, обусловленной влиянием на урожайность второго фактора - продолжительность уборки зерновых культур. Поскольку эта вариация формируется за счёт колебаний средней урожайности, то объем статистической вариации, вызванной влиянием второго фактора на урожайность зерновых культур, можно считать следующим образом:
(9.13)
где пгр – среднее значение результативного признака в подгруппах; гр – средние групповые значения этого же признака; f2 – локальная частота вариант в каждой подгруппе.
Расчёт объема статистической вариации, обусловленной влиянием урожайности продолжительности уборки зерновых культур в сельскохозяйственных предприятиях и основанной на базе данных табл. 9.8, приведен в табл. 9.10.
Данные табл. 9.10 показывают, что объем искомой статистической вариации вызванной влиянием второго фактора – продолжительность уборки - на урожайность зерновых культур, составляет 1550 (округленно 1,6 тыс.).
Найденные объемы общей, систематической (по каждому из двух факторов) вариации позволяют рассчитать объемы соответствующих случайных (остаточных) вариаций. Минимальное число остаточных вариаций в двухфакторном дисперсионном комплексе обычно равно числу изучаемых факторов. Следовательно, применительно к нашему примеру необходимо отдельно рассчитать объемы двух случайных вариаций, вызванных влиянием на урожайность зерновых культур всех остальных факторов, кроме изучаемых в дисперсионном комплексе. Расчет объема искомых случайных (остаточных) вариации проводим по формуле 9.3. итак, объем остаточной вариации, обусловленной влиянием на урожайность всех факторов за исключением изучаемого первого фактора – нагрузки уборочной площади на один комбайн, составит:
Т а б л и ц а 9.10. расчет объема систематической вариации, вызванной влиянием продолжительности уборки