Рис.27
3. Доказательство.а) Для очевидно;
б) для : если длина одной из сторон параллелограмма изменяется в раз, то площадь параллелограмма тоже изме-нится в раз;
в) для : .
4. .
Доказательство. Возьмем единичный вектор , перпендику-лярный плоскости , . Спроектируем вектор на плоскость , получим вектор , повернем его в плоскости вокруг точки по часовой стрелке на :
а) ;
Рис.28
б) ( так как , ( так как , а - проекция
тогда по теореме о трех перпендикулярах выполняется этот факт);
в) - правая тройка, следовательно, .
Рис.29
Вектор . В . Спроектируем данный треугольник на плоскость , получим , повернем его в плоскости по часовой стрелке на , получим . .
Так как , то .
, тогда , следовательно, .
5. .
6. Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю.
Доказательство.а) Пусть векторы и коллинеарны, следо-вательно, или , тогда и , нулевую длину имеет только нулевой вектор, то есть ;б) пусть , тогда , но , следовательно, , а это значит, что и коллинеарны.
7. .
8. Векторные произведения базисных ортов можно представить в виде таблицы:
- | |||
Пояснение: векторное произведение - это вектор, перпендикулярный векторам и , длина которого равна площади квадрата, построенного на векторах и , то есть равна 1 , а тройка векторов - правая тройка, отсюда следует, что . Остальные произведения
можно получить, используя свойства векторного произведения.
Рис.30