Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності та їх властивості

Означення. Нескінченно малою послідовністю називається послідовність, границя якої дорівнює нулю.

Отже або

Будемо позначати нескінченно малі послідовності літерами грецького алфавіту тощо.

Прикладом нескінченно малих послідовностей є або Поняття нескінченно малої пов’язано з поняттям границі взагалі і дає критерій збіжності послідовності.

Теорема7. Послідовність має границю , тоді і тільки тоді, коли її можна подати у вигляді суми сталого числа , та нескінченно малої послідовності . Отже .

Необхідність. Нехай . Довести, що . За означенням границі , тобто нескінченна мала, тоді

Достатність. Нехай , довести, що Отже, за умовою а це означає, що .

Розглянемо основні властивості нескінченно малих :

1. Сума декількох нескінченно малих послідовностей є послівність нескінченно мала

Нехай і нескінченно малі, тобто для яких . Для послідовності яка нескінченна мала . Якщо то Отже послідовність нескінченно мала.

2. Добуток нескінченно малої на обмежену послідовність – нескінченно мала послідовність. Нехай - нескінченно мала, а обмежена послідовність. З визначення обмеженості, існує таке число що Для нескінченно малої послідовності:

Звідси тобто –нескінченно мала послідовність.

Наслідок 1. Добуток сталою на нескінченно малу є нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченного числа нескінченно малих є нескінченно мала послідовність.

Означення. Нескінченно великою послідовністю зветься послідовність, яка має нескінченну границю тобто для будь-якого великого числа знайдеться такий номер що Наприклад, Зв’язок між нескінченно малими та нескінченно великими послідовностями затверджується такою теоремою:

Теорема8.Якщо змінна нескінченно мала, то змінна нескінченно велика, і навпаки, якщо нескінченно велика, то нескінченно мала.

Доведення. Нехай нескінченно мала, тобто звідси Якщо покласти , то теорему доведено: