Числова послідовність. Границя послідовності

Означення. Функцію , де , називають числовою послідовністю. У цьому випадку функцію позначають . Таким чином, це значення функції відповідно при Числова послідовність вважається заданою, якщо для кожного номера можливо однозначно визначити член послідовності, що знаходиться на ому місці.

Завдання послідовності найчастіше здійснюється аналітичним способом, тобто у вигляді формули загального члена

Щоб підійти до поняття границі, наведемо декілька прикладів числових послідовностей, а саме:

1)

2)

3)

4)

5)

Проаналізуємо поведінку числових послідовностей при зростанні номера

У першому прикладі змінна наближається до нуля, але значення коливаються навколо нуля; у третьому прикладі змінна наближається до 1; весь час зростає Спільним для всіх послідовностей є те, що при зростанні номера різниця між і певною сталою величиною зменшується і залишається малою. Стале число є границя послідовності.

Означення. Число називають границю послідовності , якщо для будь-якого додатного числа , яке б мале воно не було, знайдеться такий номер , що для всіх у яких задовольняється нерівність

.

Символічно можна записати:

Згідно з означенням доведемо, що

.

Запишемо нерівність

Отже, можна покласти

На відміну від розглянутої послідовності в прикладі 4 і 5 послідовності границі не мають. Геометричний зміст границі послідовності.

Нерівність рівносильна нерівності якщо .

Отже, якщо число границя послідовності , то який би окіл точки не взяти, всі члени послідовності , починаючи з повинні попасти в цей окіл. Отже за цим околом залишається скінченна кількість членів .