Скалярний добуток векторів та його властивості

 

Визначення. Скалярним добутком двох векторів та називається число, яке дорівнює добутку довжин даних векторів та косинусу кута між ними, тобто

 

, де .

 

На основі першої властивості проекції можна записати

 

.

Скалярний добуток має такі властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , (скаляри).

 

З визначення скалярного добутку можна знайти косинус кута між двома ненульовими векторами

.

Скалярний добуток векторів можна записати у координатній формі. Нехай вектори задані так:

.

 

Знайдемо добуток цих векторів як многочленів (із властивостей скалярного добутку):

 

.

 

Для косинуса кута між векторами одержимо:

 

.

Умова колінеарності двох векторів

 

,

 

у координатах , або

 

.

 

Таким чином, вектори колінеарні тільки у тому випадку, коли їх відповідні координати пропорційні.

Для перпендикулярних векторів і /2) їх скалярний добуток дорівнює нулю.

 

.