Разложение определителя по строке или столбцу.

Предыдущая формула мало пригодна для вычисления определителей n-ого порядка: число членов равно n! И с ростом n это число быстро возрастает.

Практическое вычисление определителей основано в первую очередь на формулах разложения определителя по строке (столбцу).

Рассмотрим определитель n-ого порядка

.

Пусть i - одно из чисел 1, 2, …, n. Каждый член определителя содержит в качестве множителя один элемент i – той строки. Объединим все члены, содержащие a_i1 (первый элемент i – той строки), вынесем общий множитель a_i1 за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим A_i1. Далее объединим все члены, содержащие a_i2( их сумма a_i2A_i2), и т.д..

В результате сумма (4) распадётся на n частей:

a_i1A_i1, a_i2A_i2, …, a_inA_in.

Следовательно,

a_i1A_i1 + a_i2A_i2+ …+ a_inA_in. (5)

Это равенство называют разложением определителя по элементам i-той строки ( или просто по i-той строке). Выражение Aij называют при этом алгебраическим дополнением элемента a_ij в определителе .

Итак, определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

По аналогии с разложением определителя по строке записывается разложение определителя по столбцу.

Формулу (5) можно использовать для вычисления определителя . Однако для этого нужно уметь находить алгебраические дополнения. Для этого установим некоторые свойства определителей n-ого порядка.