Линейные уравнения

Линейные уравнения.

Линейным уравнением относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют выражение вида а1 х1 + а2 х2 +…+ а n хn= b, где а1 , а2 , а n , b – числа.

Системы линейных уравнений.

  а11 х1 + а12 х2 +…+ а1n хn= b1, а21 х1 + а22х2 +…+ а2 n хn= b2, (1)

Матрицы.

, состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей размера m × n . Числа а11 ,а 12, …, аmn называются её элементами. Часто вместо подробной записи используют сокращённую:…

Умножение матрицы на число и сложение матриц.

Например, Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij ) называется…

Умножение матриц.

Запишем матрицы А и В в виде А = , В =

Определители квадратных матриц.

Пусть дана квадратная таблица, состоящая из четырёх чисел: . Такие таблицы называют матрицами размера 2 2 или квадратными матрицами второго порядка.

Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

а11х1 + а12х2 = b1 (1) a21х1 + а22х2 = b2. Из коэффициентов при неизвестных можно составить определитель

Определители третьего порядка.

. Понятия элемента, строки, столбца вводятся для матрицы совершенно так же, как… Определение. Определителем матрицы называется число

Определители n-ного порядка.

. Выберем какие-либо n элементов так, чтобы они находились в разных строках и в… Рассмотрим какой-то допустимый набор из n элементов. Расположим элементы этого набора в определённом порядке: сначала…

Разложение определителя по строке или столбцу.

Практическое вычисление определителей основано в первую очередь на формулах разложения определителя по строке (столбцу). Рассмотрим определитель n-ого порядка .

Свойства определителей n-ого порядка.

Поэтому приводимые ниже свойства определителей формулируются для строк, для столбцов свойства аналогичны. 1.Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель… Для доказательства достаточно разложить определитель по элементам данной строки.

Понятие минора. Вычисление определителей n-ого порядка.

= . Выделим некоторый элемент aij.Если вычеркнуть из определителя i-тую строку и j–тый столбец (т.е. строку и столбец, в которых расположен элемент aij), то останется некоторый…

Связь между минорами и алгебраическими дополнениями.

Aij = (-1)i+jMij. Иначе говоря, всегда справедливо одно из равенств Aij = Mij, причём знак +…  

Правило Крамера для системы nn.

где каждый из определителей получается из определителя заменой… Пример. Решить систему уравнений 33

Обратная матрица.

называется единичной и обозначается через Е. Легко проверить, что какова бы ни была матрица А

Транспонирование матрицы.

Пример. Транспонированной к матрице А = является матрица

Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А.

Пусть А = - невырожденная матрица, т.е. Теорема. Если А – невырожденная матрица, то А-1 =

Умножение матрицы на вектор.

Если А – матрица размера m × n, вектор-столбец х имеет размерность n , а вектор-строка y – размерность m, то определены произведения Ах и уА,… Пример. Даны матрица А и векторы х и у: А = , х = , у = (2, 1, -3).

Матрично-векторная форма записи системы линейных уравнений.

  а11 х1 + а12 х2 +…+ а1n хn= b1, а21 х1 + а22х2 +…+ а2 n хn= b2, (1)

Запись решения с помощью обратной матрицы.

Используя эту матрицу, можно решить уравнение (2): умножая обе части уравнения (2) слева на матрицу А-1, получаем А-1(Ах) = А-1В или, согласно сочетательному закону умножения матриц,