Пусть А = - невырожденная матрица, т.е.
Теорема. Если А – невырожденная матрица, то
А-1 =
Здесь Аij – алгебраическое дополнение для элемента аij .
Обратим внимание на своеобразное расположение чисел Аij в матрице А-1, а именно: число Аij расположено не в i – той строке и j – том столбце, а, наоборот, в j – той строке и i– том столбце.
Доказательство.
Следует проверить справедливость равенств АА-1 = Е и А-1а = Е. Сделаем это для произведения АА-1. Полагая АА-1 = С, запишем
С = АА-1 = · .
Согласно правилу умножения матриц, элемент матрицы С, расположенный в i – той строке и j – том столбце, равен
При i = j это выражение равно 1, т.к. тогда в скобках стоит разложение определителя по i – той строке; если же , то написанное выражение равно 0, поскольку в этом случае в скобках стоит сумма произведений элементов i – той строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам j – той строки . Т.о., сij равно 1, если i = j , и равно 0, если . Это означает, что С = Е.
Пример 1.Найти обратную матрицу для матрицы
А = .
; следовательно, матрица А-1 существует. Чтобы записать её, находим числа А11 = -1, А12 = -4,А21 = -2, А22 = -7.
А-1 = -
Пример 2.То же самое для матрицы
А =
А11= А-1 = -