Особое значение имеют системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных – системы nn. В этом случае матрица А является квадратной матрицей размера nn. Допустим, что эта матрица невырожденная, т.е. что её определитель не равен 0. Тогда для неё существует обратная матрица А-1.
Используя эту матрицу, можно решить уравнение (2): умножая обе части уравнения (2) слева на матрицу А-1, получаем
А-1(Ах) = А-1В
или, согласно сочетательному закону умножения матриц,
(А-1А)х = А-1В.
Но А-1А = Е, а Ех = х. Уравнение принимает вид
х = А-1В.
Эта формула даёт матричную запись решения.
Замечание. Не следует думать, что эта формула сильно упрощает задачу решения системы размера nn с невырожденной матрицей А. Ведь для того чтобы использовать эту формулу. Нужно сначала найти матрицу А-1, а это само по себе есть достаточно трудная задача. Поэтому формула имеет скорее теоретическое значение. Наиболее удобным способом остаётся метод Гаусса.
Пример. Решить систему уравнений
х1 + 3х3 = 1
5х1 + 3х2 + 7х3 = 1
3х1 + 2х2 + 5х3 = 1.
А =
Вычислим матрицу А-1:
А-1 =
Теперь находим столбец х:
Итак, решение системы:х1 = -