Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Пусть дана система уравнений

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ = b₁ (1)

a₂₁х₁ + а₂₂х₂ = b₂.

Из коэффициентов при неизвестных можно составить определитель

.

Будем называть его определителем системы и обозначать символом .

Кроме нам понадобятся ещё два определителя:

 

Теорема (правило Крамера для системы).

Если определитель системы (1) не равен 0, то система имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам:

(2)

Доказательство.

Умножая обе части первого уравнения системы на а₂₂, второго на

–а₁₁, а затем складывая полученные уравнения, имеем

(а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂)х₁ = b₁a₂₂ – b₂a₂₁,

или, что то же самое, Отсюда

Аналогично, умножая обе части первого уравнения на – а₂₁, второго на а₁₁, а затем складывая полученные уравнения, придём к уравнению

(a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂)x₂ = a₁₁b₂ – a₂₁b₁,

или Отсюда

Т.о., мы показали, что если существует решение данной системы уравнений, то это решение определяется формулами (2). Теперь остаётся проверить, что числа действительно составляют решение системы, т.е. что справедливы равенства

Имеем

что доказывает первое из указанных равенств. Второе проверяется аналогично.

Пример. Решить систему уравнений

3х₁ – 5х₂ = 0

х₁ – 2х₂ = 1.

Имеем

следовательно,