Определение 2. Группой называется множество G, на котором задана б.а.о. t такая, что выполнены следующие свойства, называемые аксиомами группы:
G1. Операция t ассоциативна.
G 2. Существует еÎG – единичный элемент.
G 3. Все элементы G обратимы.
Если операция t группы G коммутативна, то G – коммутативная (абелева) группа. Если НÌG, и подмножество Н само является группой, то Н называется подгруппой группы G. Назовем порядком элемента gÎG, g¹e, наименьшее натуральное число m такое, что gm=e. Если такого числа нет, то g – элемент бесконечного порядка. Пусть g – элемент конечного порядка m, тогда H={e,g,…,gm-1}- подгруппа группы G ( так называемая циклическая подгруппа).
Пример 6.Показать, что множество G=C{0}, на котором введена операция t - умножения комплексных чисел, является абелевой группой (см. пример 5), а элемент , где m – натуральное число, имеет порядок m.
Одним из важнейших примеров групп является группа перестановок на множестве n элементов (симметрическая группа Sn). Роль этой группы определяется тем обстоятельством, что любая конечная группа порядка n (т.е. состоящая из n элементов) изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы Sn (теорема Кэли).
Группа Sn состоит из n! перестановок
Б.а.о. на Sn – умножение перестановок, осуществляется по закону композиции. Например, пусть n=4,
Найдем s×t. Имеем s×t (1)= s(t(1))= s(4)=1, s×t(2)= s(3)=4, s×t(3)=3, s×t(4)=2, т.е.
Аналогично
Уже на этом примере видно, что s×t¹t×s, т.е. группа Sn - неабелева. Важнейшим из перестановок являются так называемые к – циклы (циклы длины к), переставляющие к элементов по кругу. Эти перестановки записываются в одну строку. Например, s=(1234) – 4-цикл: 1®2®3®4®1. Любую перестановку можно записать в виде произведения непересекающихся циклов. Например, t=(14)(23); t×s=(13)(2)(4) и т.д.
Алгоритм нахождения t-1 покажем на примерах:
Легко показать, что порядок к –цикла равен к, а порядок произведения непересекающихся циклов равен НОК (наименьшему общему кратному) порядков этих циклов.
Отметим, что 2-цикл называют транспозицией. Очевидно, что 1 2 … )=(1 )(1 -1)…(12), а тогда любую перестановку можно записать в виде произведения транспозиций, возможно пересекающихся. Это представление не является единственным, но во всех таких представлениях количество транспозиций имеет одну и ту же честность. Все честные перестановки в Sn образуют подгруппу Аn порядка . В частности, изучение свойств подгруппы А5 порядка 60, позволило Галуа доказать, что для алгебраического уравнения (6) при n=5 не существует общей формулы, выражающей корни этого уравнения через его коэффициенты. Свойства перестановок играют также важнейшую роль в доказательствах свойств определителей матриц.