АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

 

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

 

Методические указания к самостоятельной

работе для студентов I курса очной

формы обучения специальности

«МОА» №

(2 семестр)

 

 

Брянск 2009

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Данные методические указания предназначены для студентов, изучающих курс алгебры и теории чисел, и содержит теоретические сведения, а также практические задания для подготовки к контрольной работе, 25 вариантов расчетно-графической работы и необходимые материалы для подготовки к экзамену. В этом пособии рассмотрены 7 тем, изучаемых во втором семестре.

 

 

ТЕМА I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

  В конце методических указаний в теме 7 мы приведем более корректное… 1) Сложение (вычитание)

ТЕМА 2. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Пусть Х – произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией (б.а.о.) называется отображение

t: Х+Х®Х.

Часто для a,bÎX будем обозначать t( a,b)= a*b.

Б.а.о. t называется ассоциативной, если для всех a,b,cÎX выполняется равенство (a*b)*c=a*(b*c).

Б.а.о. t называется коммутативной, если для всех a,bÎX будет a*b= b*a. Элемент еÎХ называется единичным для б.а.о., если для всех aÎX

е*a= a*е=а.

Элемент aÎX называется обратимым для б.а.о. t , если существуют еÎХ, bÎХ такой, что a*b= b*a=е.

Очевидно, что единичный элемент еÎХ – единственный.

Если е¢ÎХ – еще один единичный элемент, то из (9) е*е¢= е¢, е*е¢=е, т.е. е= е¢.

Аналогично, если aÎX, b,b¢ÎX такие, что a*b=b*a=е, a*b¢= b¢*a=е, и операция t ассоциативна, то (b*a)b¢= е*b¢=b¢, (b*a)b¢= b(a*b¢)=b*e=b, т.е. b¢=b. Поэтому корректно обозначение b=a^-1. Легко доказать, что b^-1=a, т.е. (а^-1)^-1=а.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 3. Пусть ХMat(n;R) – множество всех квадратных матриц порядка n, все элементы которых – вещественные числа; А,ВÎХ, А*В=А×В. Проверить, что задана б.а.о. Является ли эта операция ассоциативной, коммутативной? Имеется ли единичный элемент? Найти все обратимые элементы.

Решение. 1) Так как А×В – квадратная матрица порядка n, то мы имеем б.а.о., т.е. для всех А,ВÎХ будет А*ВÎХ.

2) Так как для всех матриц (АВ)С=А(ВС), то операция ассоциативна (а).

3) Так как в общем случае неверно АВ=ВА, то операция не является коммутативной ( ).

4) здесь е=Е – единичная матрица порядка n, так как для всех АÎХ будет АЕ=ЕА=А (е).

5) Обратимость в данном случае означает наличие А^-1. Хорошо известно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы det A¹0. Итак, все обратимые элементы в Х – это матрицы с ненулевым определителем.

Пример 4. Пусть Х=Z, для всех n,mÎZ определим n*m=-n-m. Задание то же, что и в примере 3.

Решение. 1) Если n,mÎZ, то -n-mÎZ, т.е. имеем б.а.о.

2) Вычислим (1*2)*3=(-3)*3=3-3=0; 1*(2*3)=1*(-5)=-1+5=4, т.е. операция не ассоциативна ( ).

3) n*m= m*n =-n-m, т.е. операция коммутативна (к).

4) Если е*n =n для всех nÎZ, то –е-n=n, e=-2n, но е не должен зависеть от n, т.е. единичный элемент отсутствует ( ).

5) обратимые элементы не существуют, т.к. отсутствует единичный элемент.

Пример 5. Пусть Х=С¢ - множество всех комплексных чисел, z₁*z₂=z₁×z₂.Предлагается самостоятельно, используя тему 1, показать, что задана б.а.о., обладающая свойствами а,k,e, все z¹0 являются обратимыми, в точности как для R.

 

ТЕМА 3. ГРУППЫ

Определение 2. Группой называется множество G, на котором задана б.а.о. t такая, что выполнены следующие свойства, называемые аксиомами группы: G1. Операция t ассоциативна. G 2. Существует еÎG – единичный элемент.

ТЕМА 4. ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ

Определение 3. Числа a и b называются сравнимыми по модулю m: a º b(mod m), если a – b без остатка делится на m. Это определение равносильно тому, что числа a и b имеют одинаковые остатки при… симметричность: a º b(mod m) Þ b º a (mod m) и

ТЕМА 5. РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Мы рассмотрим несколько примеров нахождения целочисленных решений алгебраических уравнений с несколькими переменными (диофантовых уравнений). Пример 9. Найти все решения линейного уравнения 5х-7у=13, х,уÎZ. Решение. Сведем к примеру 8: 5х º 13 (mod 7) Þ х º 4 (mod 7) Þ х º 4 (mod 7), т.е. х=4+7k,…

ТЕМА 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ

В этой большой классической теме мы ограничимся только одной задачей: приближением с помощью последовательностей Фарея. Определение 4. Последовательностью Фарея порядка n называется множество ,… Например, .

ТЕМА 7. КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Определение 5. Непустое множество К с двумя б.а.о. + (сложение) и (умножение) называется кольцом, если 1) К является абелевой группой относительно операции +; 2) умножение ассоциативно;

Пример.

.

4. Найти две последние цифры в десятичной записи числа N на число n.

Пример. N=7¹⁰⁰, n=19.

5. Найти все целочисленные решения данного уравнения.

Пример. х²+5ху+4у²=18.

Указания к решению задач:

1) задача 1 решается с помощью формул (3) и (4);

2) для решения задачи 2 полезно изучить весь материал, приведенный в теме 2, в частности, примеры 3 и 4, подробно разобранные в этой теме;

3) упростим заданное уравнение: x²=f^-1h, далее применяем правила действия с перестановками, приведенные в теме 3;

4) задача 4 аналогична примеру 7, рассмотренному в теме 4;

5) для решения задачи 5 необходимо изучить тему 5.

Вариант расчетно-графической работы состоит из семи задач, далее задания 1-7.

 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Задание 1

Составить кубическое уравнение, имеющее данный набор корней. Решить полученное уравнение, применяя алгоритм Кардано.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. -2, 1+3i, 1-3i.

22. .

23. .

24. 4, -2+i, -2-i.

25. 2, -1+2i, -1-2i.

 

Задание 2

 

Тема этого задания полностью совпадает с указанной выше задачей 2 контрольной работы.

1. .

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. Множество всех функций f(x), определенных на R и таких, что f(0)=0; f*g=f+g; .

14.

15.

16. Множество всех четных функций f(x), определенных на R, f*g=fg; .

17. .

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Отметим, что R⁺={xÎR, x³0}, Vest₂ и Vest₃ – множества векторов соответственно на плоскости и в пространстве.

 

Задание 3

 

Для данного множества матриц проверить аксиомы группы относительно операции умножения. Является ли данная группа абелевой?

1. .

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. Все матрицы отражения плоскости ОХУ относительно прямых, проходящих через начало координат.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

 

Задание 4

 

Для данных перестановок f,g,hÎS₆ решить уравнение fxg=h, xÎS₆. Сделать проверку. Найти порядка всех перестановок f,g,h,х.

1. 2.

3.

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

16.

 

17.

 

18.

 

19.

 

20.

 

21.

 

22.

 

23.

 

24.

 

25.

Задание 5

Найти последние две цифры в десятичной записи числа N, а также остаток от деления числа N на n. Использовать функцию Эйлера и теорему 2.

1. N=8⁷³⁴; n=19. 2. N=6¹²¹¹; n=17. 3. N=12³²⁴; n=29.

4. N=4⁷²⁵; n=11. 5. N=6⁷⁴²; n=19. 6. N=4⁶²¹; n=13.

7. N=12⁴¹¹; n=31. 8. N=7³⁴²; n=31. 9. N=6²⁷⁴; n=31.

10. N=6³²⁴; n=29. 11. N=4⁸³²; n=13. 12. N=3⁸²⁰; n=29.

13. N=2⁸³⁰; n=29. 14. N=2⁴²⁵; n=13. 15. N=13¹⁰⁰; n=17.

16. N=13²²⁰; n=11. 17. N=4³⁴²; n=13. 18. N=7²⁵⁰; n=11.

19. N=13²⁰⁰ n=17. 20. N=4⁶²⁰; n=11. 21. N=12³⁰⁵; n=19.

22. N=6²⁰⁰⁹; n=13. 23. N=2²⁰⁰⁹; n=23. 24. N=4¹⁰²⁴; n=13.

25. N=8³⁷²; n=29.

 

Задание 6

 

Найти все решения х,уÎZ уравнения

1. х²+3ху+2у²=5. 14. 4х²-у²=15.

2. 2х²+2х+1+2ху+у²=5. 15. 4х²+у²=z², zÎ{4,5,…,12}.

3. 7х+12у=5. 16. 2х²+2x-4ху+4у²=12.

4. х²-2у²=35. 17. х²-4у²=9.

5. х²+у²=4z², zÎ{0,1,…,10}. 18. 2х²-4x-2ху+у²=16.

6. х²+4у²=z², zÎ{0,1,…,10}. 19. 5х-8у=11.

7. х²-3ху+2у²=6. 20. 5х-11у=12.

8. х²-у²=16. 21. х²+у²=z², zÎ{5,6,…,15}.

9. 8х+5у=11. 22. х⁴-у⁴=65.

10. 2х²-2ху+у²+2x =12. 23. х²-6ху+8у²=12.

11. х²-4у²=21. 24. 4y²-x²=51.

12. 5х-11у=7. 25. х³-у³=9.

13. 6х-13у=11.

 

Задание 7

 

Найти к данному иррациональному числу aÎ(0,1) рациональное приближение с наибольшим значением знаменателя q, q£100, удовлетворяющее неравенству(12)

 

1. . 10. . 19. .

2. . 11. . 20. .

3. . 12. . 21. .

4. . 13. . 22. .

5. . 14. . 23. .

6. . 15. . 24. .

7. . 16. . 25. .

8. . 17. .

9. . 18. .

Небольших указаний требует лишь задания 1 и 7. В задании 1 необходимо составить уравнение (z-z₁)(z-z₂)(z-z₃)=0, имеющее вид (8). При решении последнего уравнения необходимо следовать примеру 2. Все промежуточные вычисления можно выполнять приближенно с точностью 10^-4. При выполнении задания 7 можно применить алгоритм из решения примера 12 с единственным отличием: использование последовательностей Фарея F_n для n£100.

Завершим это методическое указание некоторыми указаниями для подготовки к сдаче экзамена. Билет экзамена состоит из двух примеров, темы которых в основном представлены выше и одного теоретического вопроса. Все теоретические вопросы к экзамену приведены ниже. Они разделены на два уровня: А и В. К уровню Б отнесены наиболее сложные вопросы.

 

УРОВЕНЬ «А»

1. Линейное пространство. Аксиомы. Примеры Rⁿ. Линейная независимость. Базис. Размерность. Координаты.

2. Матрицы. Действия над матрицами. Определитель квадратной матрицы. Свойства, вычисление.

3. Вычисление обратной матрицы (с доказательством).

4. Линейный функционал. Координаты в базисе.

5. Билинейный функционал. Матрица в данном базисе. Вычисление b(a,b) с помощью (b)_e.

6. Квадратичный функционал, связь с симметричным билинейным функционалом. Положительная и отрицательная определенность.

7. Линейный оператор. Матрица в данном базисе. Вычисление .

8. Матрица перехода С от базиса e к базису F. Связь .

9. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристическое уравнение.

10. Ортогональные матрицы и их свойства.

11. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Матричная запись СЛАУ. Метод Гаусса.

12. Решение СЛАУ с помощью А^-1 и по правилу Крамера.

13. Бинарные операции. Основные свойства. Аксиомы группы.

14. Циклические группы.

15. Группа перестановок. Запись в виде непересекающихся циклов. Запись в виде произведения транспозиций.

16. Сравнения по mod m и их основные свойства.

17. Решение линейных уравнений с помощью сравнений.

18. Кольца. Определение. Примеры. Делители нуля.

19. Поле. Определение. Примеры. Поле вычетов z_p.

20. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Вычисление в тригонометрической форме.

21. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Разложение на множители многочлена.

22. Выделение у неправильной рациональной функции целой части. Разложение правильной дроби на сумму простейших.

 

УРОВЕНЬ «В»

1. Матрица Линейного оператора в новом базисе

2. Матрица билинейного функционала в новом базисе.

3. Оператор отражения и его матрица. Метод отражения решения СЛАУ.

4. Оператор вращения и его матрица. Метод вращения решения СЛАУ.

5. Структура множества решений СЛАУ.

6. Построение кривой второго порядка с помощью матриц (обоснование).

7. Теорема Кэли.

8. Теорема Лагранжа.

9. Функция Эйлера и ее вычисление. Формула Эйлера.

10. Уравнение Пифагора и его целочисленные решения.

11. Последовательности Фарея и их свойства (доказательство)

12. Приближение вещественных чисел рациональными. Теорема Гурвица.

13. Разложение многочлена из R[x] на множители первой и второй степеней.

14. Вычисление .

15. Формула Кардано.

16. Поле строк (вычетов по mod неприводимого многочлена).

17. Алгоритм Евклида нахождения НОД многочленов.

18. Интерпретация поля комплексных чисел: поле вычетов по mod (x²+1); матричная интерпретация.