В этой большой классической теме мы ограничимся только одной задачей: приближением с помощью последовательностей Фарея.
Определение 4. Последовательностью Фарея порядка n называется множество , состоящее из всех несократимых дробей, знаменатель которых не превосходит n, записанных в порядке возрастания.
Например, .
Следующая теорема описывает рекуррентную процедуру, позволяющую строить Fn.
Теорема 3.1) Если - две соседние дроби в Fn, то a2b1-a1b2=1. 2) Алгоритм перехода от Fn к Fn+1 осуществляется следующим образом. Рассмотрим - две соседние дроби в Fn. Если b1+b2>n+1, то между не появляется нового элемента. Если b1+b2=n+1, то между появляется единственный новый элемент – медианта этих дробей: .
Следующая теорема, принадлежащая Гурвицу, доказывается с помощью последовательностей Фарея. Она позволяет строить бесконечную последовательность хороших рациональных приближений для иррациональных чисел.
Теорема 4.Если a - вещественное иррациональное число, то существует бесконечно много несократимых дробей таких, что
. (12)
Пример 12. Найти следующее после приближения Архимеда рациональное приближение для числа a=p-3, удовлетворяющее неравенству (12).
Решение. Будем искать необходимое рациональное приближение среди соседних ka дробей в Fn. Отметим, что a=0,1415926… Начнем с F5: Далее увеличиваем n, используем утверждение 2) теоремы 3.
F6: F7: F8:
F15: F22: F29: …
F106: F113:
Пусть . Тогда , т.е. ответом к данному примеру является приближение .