Тема 1. Многокутники

1. Точки Е, F, M розміщені відповідно на сторонах AB, BC, AC трикутника ABC. Відрізок AE складає сторони AB, відрізок BF всладає сторони BC, відрізок AM складає сторони AC. Знайти відношення площі трикутника EFM до площі трикутника ABC.

2. На продовженнях медіан AK, BL, CM трикутника ABC узято точки P, Q, R так, що . Знайти площу трикутника PQR, якщо площа трикутника ABC дорівнює одиниці.

3. У трикутнику проведено дві прямі, які паралельні його основі і поділяють бічну сторону у відношенні k : l : m (від вершини до основи). У якому відношенні ці прямі поділяють площу трикутника ?

4. Дві сторони трикутника дорівнюють a і b. Через точку третьої сторони проведено прямі, які паралельні двом даним сторонам трикутника і поділяють його на ромб і два трикутники. У якому відношенні ці прямі поділяють площу даного трикутника ?

5. Знайти відношення площі трикутника до площі іншого трикутника, утвореного з медіан даного трикутника.

6. У трикутнику АВС сторона ВС = а. Точка О поділяє медіану у відношенні (від вершини до сторони). Знайти довжину відрізка , де і – точки перетину прямих ВО і СО з двома іншими сторонами трикутника.

7. Через точку, взяту вередині трикутника, проведені прямі, паралельні сторонам трикутника. Ці прямі поділяють трикутник на шість частин, три з яких є трикутники, площі яких дорівнюють a, b і с. Знайти площу даного трикутника.

8. За стороною а і двома медіанами і знайти третю медіану трикутника АВС.

9. Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b. Знайти бісектрису прямого кута.

10. У трикутнику АВС бісектриса АD поділяє його на два трикутники АВD і АСD, площі яких відносяться, як 1:. Знайти кути , якщо .

11. Знайти довжину відрізка, обмеженого бічними сторонами трапеції, якщо цей відрізок паралельний до основ трапеції і ділить її площу на дві рівні частини.

12. Відстань між основами двох висот ромба, проведених з однієї вершини, удвоє менша від діагоналі ромба. Обчислити кути ромба.

13. В опуклому чотирикутнику ABCD бісектриса кута АВС перетинає сторону AD в точці М, а перпендикуляр, опущений з вершини А на сторону ВС, перетинає ВС у точці N так, що ВN=NС і АМ=2МD. Знайти сторони і площу чотирикутника ABCD, якщо периметр його дорівнює 5+, .

14. В опуклому чотирикутнику ABCD бісектриса кута BAD перетинає сторону ВС у точці М, а бісектриса кута АВС перетинає сторону АD у точці N так, що ВМ=МС, 2АN=ND і АМ ВN. Знайти сторони і площу чотирикутника ABCD, якщо його периметр дорівнює т. а .

15. У паралелограмі дано гострий кут і відстані т і р від точки перетину діагоналей до нерівних сторін. Визначити діагоналі і площу паралелограма.

16. Дано прямокутну трапецію з основами а, b і меншою бічною стороною с. Визначити відстані точки перетину діагоналей трапеції від основи а і від меншої бічної сторони.

17. З вершини тупого кута ромба опущено перпендикуляри на його сторони. Довжина кожного перпендикуляра дорівнює а, відстань між їх основами дорівнює b. Визначити площу ромба.

18. За основами а і b та бічними сторонами с і d трапеції визначити її діагоналі т і п.

19. Дано паралелограм, у якому гострий кут . Визначити відношення довжин сторін, якщо відношення квадратів довжин діагоналей паралелограма дорівнює .

20. Визначити кути паралелограма, якщо дано дві його висоти і і периметр 2р.