Тема 2. Комбінації многокутників. Коло, круг. Вписані кути

21. Обчислити площу спільної частини двох ромбів, діагоналі першого з яких дорівнюють 4 і 6 см, а другий утворено поворотом першого на навколо його центра.

22. Опуклий чотирикутник розділено діагоналями на чотири трикутники; площі трьох із них дорівнюють 10, 20 і 30 , і кожна менша за площу четвертого трикутника. Знайти площу даного чотирикутника.

23. Площа рівностороннього трикутника, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, удвоє більша за площу цього прямокутного трикутника. Знайти відношення катетів.

24. На кожній медіані трикутника взято точку, яка ділить медіану у відношенні 1:3, починаючи від вершини. У скільки разів площа трикутника з вершинами в цих точках менша за площу початкового трикутника ?

25. У рівнобедрений трикутник вписано квадрат одиничної площі, одна сторона якого лежить на основі трикутника. Знайти площу трикутника, якщо відомо, що центроїд трикутника і центр квадрата збігаються.

26. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює третині площі квадрата, побудованого на основі даного трикутника. Бічна сторона трикутника коротша за його основу на 1 см. Знайти сторони і висоту трикутника, проведену до основи.

27. Рівносторонній шестикутник ABCDEF складено з двох трапецій, що мають спільну основу CF. Відомо, що AC=13 см, AE=10 см. Знайти площу шестикутника.

28. На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з гіпотенузою с зовні цього трикутника побудовано квадрати. Центри цих квадратів сполучено між собою. Знайти площу утвореного трикутника.

29. Даний квадрат із стороною а зрізано по кутах так, що утворився правильний восьмикутник. Визначити площу цього восьмикутника.

30. Дано два правильні трикутники площею S, з яких другий утворено поворотом першого трикутника навколо його центра на кут . Обчислити площу перетину цих трикутників.

31. У колі радіуса r проведена хорда довжиною 0,5 r. Через один кінець хорди проведена дотична до кола, а через інший – січна, яка паралельна дотичній. Знайти відстань між дотичною і січною.

32. У більшому з двох концентричних кіл проведена хорда довжиною 32 см, яка дотикається до меншого кола. Визначити радіуси обох кіл, якщо ширина утвореного кільця рівна 8 см.

33. Всередині кола радіуса 15 см взято точку М на відстані 13 см від центра. Через точку М проведена хорда довжиною 18 см. Визначити довжини відрізків, на які точка М поділяє хорду.

34. У круговий сектор з центральним кутом вписано коло. Знайти його радіус, якщо радіус даного кола дорівнює R.

35. З точки поза колом проведені дві січні. Внутрішній відрізок першої дорівнює 47 м, а зовнішній – 9 м. Внутрішній відрізок другої січної на 72 м більший, ніж її зовнішній відрізок. Знайти довжину другої січної.

36. З точки поза колом проведені січна довжиною 20 см і дотична. Знайти довжину дотичної, якщо відношення її зовнішньої частини до внутрішньої рівне .

37. У колі з центром у точці О проведена хорда АВ, яка перетинає діаметр в точці М і утворює з діаметром кут, рівний . Знайти ОМ, якщо АМ = 10 см, а ВМ = 4см.

38. Сторона квадрата, вписаного в коло, рівна а. Знайти площу сегмента, який вона відтинає.

39. Круг радіуса R обкладений чотирма рівними кругами так, що кожні два сусідні круга дотикаються один до одного. Знайти площу одного з цих кругів.

40. У точках перетину двох кіл радіусів 4 см і 8 см дотичні до них взаємно перпендикулярні. Визначити площу фігури , де АВ – спільна дотична до кіл, а і – їх центри.