Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произвольная точка и вектор
Уравнение
(1)
определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору
В уравнении (1) раскроем скобки
.
Выражение, стоящее в скобках обозначаем через D, тогда получим
(2)
Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости.
Если в общем, уравнении плоскости коэффициент D ≠ 0 то, разделив все члены уравнения на - D, уравнение плоскости можно привести к виду
(3)
здесь Это уравнением плоскости в «отрезках» в нем а, b и с соответствует абсциссе, ординате и аппликате точек пересечения плоскости с осями координат Ох, Оу, Оz.
При любом расположении (2) плоскостей П1, П2
(4)
в пространстве один из углов между ними равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по формуле
(5)
Если два уравнения (4) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны
(6)
Если плоскости П1 и П2 параллельны, то коллениарны их нормальные векторы и наоборот. Но тогда
(7)
Условие (7) является условием параллельности плоскостей.
Если же плоскости П1 и П2 перпендикулярны, то перпендикулярны их нормальные векторы . Но тогда их скалярное произведение равно 0, т.е.
(8)
Равенство (8) определяет условие перпендикулярности плоскостей.