Аналитическая геометрия изучает геометрические образы алгебраическими методами. Аппаратом аналитической геометрии является метод координат, разработанный Декартом в XVII веке. В основе метода координат лежит понятие системы координат.
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.
В прямоугольной системе координат Оху точку М, имеющую координаты х и у, обозначают М(х; у), где х – абсцисса точки, а у – её ордината.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки М1(х1, у1) и М2(х2;у2). Расстояние между ними определяется по формуле:
(1)
Теорема.Для любых трех точек А(х1;у1),В(х2;у2) и С(х3;у3), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле
(2)
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М2 (рис.1).
Координаты точки М(х;у) делящей отрезок между точками М1(х1;у1) и М2(х2;у2) в заданном отношении λ, определяются по формулам:
(3)
При λ=1 получаем формулы для координат середины отрезка:
(4)
у М2(х2;у2)
М1(х1;у1) М(х;у)
ρ М
О Р1 Р Р2 х O φ
рис.1 рис.2
В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=ρ от полюса О (ρ–полярный радиус-вектор точки) и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью ОЕ (рис.2). Угол φ считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.
Прямоугольные координаты х и у точки М и её полярные координаты ρ и φ связаны следующими формулами