Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии.
Определение. Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Прямую можно задать одним из следующих уравнений:
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k (k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox)
у=kх+b (1)
2. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку
)
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
4. Уравнение прямой в "отрезках"
здесь a и b -отрезки, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно.
5. Нормальное уравнение прямой
здесь р - длина перпендикулярна, опущенного из начала координат на прямую, a -угол образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
6. Уравнение прямой проходящей через точку , в данном направлении
7. Общее уравнение прямой
Ax=By+С=0. (7)
Здесь A, B и C постоянные коэффициенты, причем Если какой-то коэффициент равен 0, то получаем неполные уравнения прямой.
а) Если А=0, тогда By+C=0 это уравнение определяет прямую, параллельную оси Ох.
б) Если В=0, то уравнение Ax+C=0 определяет прямую, параллельную оси Оу.
в) Если С=0, то уравнение Ax+By=0 задает прямую, проходящую через начало координат.
г) Если А=С=0, то уравнение By=0 определяет прямую совпадающую с осью Ох.
д) При В=С=0 прямая Ах=0 совпадает с осью Оу.
Прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y=k1x+b1 и y=k2x+b2 , (8)
то острый угол между прямыми определяется по формуле
. (9)
Если же прямые заданы общими уравнениями
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, (10)
то угол между ними можно найти по формуле
(11)
Пусть прямые заданы уравнениями (8). Прямые параллельны, если tg a=0, тогда
k2=k1 (12)
условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности определяет равенство
(13)
Если прямые заданы уравнениями (10), то условия параллельности и перпендикулярности примут вид:
, (14)
А1А2+В1В2=0. (15)