Опр: Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называют функцию от наблюдаемых значений случайной величины.
Пусть по результатам выборки объема n каким–либо образом найдена оценка параметра генеральной совокупности.
Оценки бывают:
1. Несмещенные, если ее математическое ожидание совпадает с оцениваемым параметром при любом объеме выборки;
2. Эффективные, если дисперсия имеет постоянное значение;
3. Состоятельные, если при она сходится по вероятности к оцениваемому параметру.
Будем рассматривать точечные (задаются одним числом) и интервальные (задаются 2-мя числами, концами интервала) оценки параметров генеральной совокупности.
Точечные оценки (выборочное среднее и выборочное дисперсия)
Пусть выборка задана статистическим рядом:
| … | ||||
| … |
Опр: Выборочной средней называется число:
Выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания генеральной совокупности.
Опр: Выборочной дисперсией называется величина:
Вычислять выборочную дисперсию по этому определению неудобно, лучше использовать формулу для вычисления выборочной дисперсии:
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Несмещенной оценкой является исправленная выборочная дисперсия:
При большом объеме выборки поправка практически равна 1, а при малом объеме выборки эта поправка играет существенную роль.
Выборочным средним квадратическим отклонениемназывается число:
Выборочное квадратическое отклонение
Пример:
По результатам выборки найти точечные оценки математического ожидания и дисперсию генеральной совокупности.
Замечание:При выборки малого объема точечная оценка может значительно отклоняться от оцениваемого параметра. По этой причине при малом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.