Рассмотрим с точки зрения введённых во второй и третьей главах понятие теоремы. Большинство теорем, встречающихся в школьном курсе математики, представляют собой высказывания в виде
"х А(х)ÞВ(х), хÎU. (1)
Ограничимся строением таких теорем. Возьмём, например, теорему: «Во всяком треугольнике против равных сторон лежат равные углы». Здесь на самом деле рассматриваются два предиката
А(Δ)={в ΔАВС стороны АВ и ВС равны}и В(Δ)={в ΔАВС угол А равен углу С}, заданных на множестве всех треугольников.
Теорема утверждает, что для любого треугольника из истинности А(Δ) следует истинность В(Δ), а это как раз можно записать кратко " Δ А(Δ)ÞВ(Δ) .
В формулировке каждой теоремы, имеющей структуру (1), будем различать:
1.Условие теоремы – предикат А(х).
2.Заключение теоремы – предикат В(х).
3. Разъяснительную часть теоремы – описание элементов множества U, на котором заданы предикаты А(х) и В(х) вместе с указанием на то, что импликации А(х)ÞВ(х) истинна для всех его элементов.
Нередко при формулировке теорем опускается разъяснительная часть. Например, теорема о диагоналях ромба формулируется так: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны». При этом, конечно, подразумевается, что утверждение теоремы относится к каждому ромбу. Из-за краткости формулировки теоремы о диагоналях ромба может показаться, что эта теорема не имеет формы (1). На самом деле это не так. Точная формулировка этой теоремы такова (напомним, что ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны):
Пусть Р – множество параллелограммов и пусть А(р)={Параллелограмм р – ромб} и В(р)={диагонали параллелограмма р взаимно перпендикулярны} – два предиката, заданных на множестве Р. Тогда "р А(р)ÞВ(р), т.е. для любого параллелограмма верно утверждение, если он – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.