Обратные теоремы.

Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать обратное ей пред­ложение «если В, то А». Однако не для всякой теоремы предложение, ей обратное, также является теоремой. Пусть, например, даны такие две теоремы: «Если два квадрата равны, то их площади равны»; «Если два прямоугольника равны, то их площади равны». Предложение «Если площади двух квадратов равны, то эти квадраты равны», обратное первой из данных теорем, является теоремой. Предложение «Если площади двух прямоугольников равны, то они равны», обратное второй из данных теорем, тео­ремой не является.

Эти примеры свидетельствуют о неравносильности предложений вида А(х)ÞВ(х) и В(х)ÞА(х). В неравносильности предложений такого вида можно также убедиться, срав­нив таблицы истинности формул АÞВ и ВÞА:

А	В	АÞВ	ВÞА
и	и	и	и
и	л	л	и
л	и	и	л
л	л	и	и

 

Поскольку два последних столбца в таблице не оди­наковы, эквиваленция этих формул не является тавто­логией, т. е. они не равносильны. Более того, из таблицы видно, что одновременно с истинностью предложения ви­да «если А, то В», предложение вида «если В, то А» мо­жет быть как истинным, так и ложным.

Таким образом, если доказана истинность какого-ли­бо предложения, то независимо от этого обратное ему предложение требует доказательства или опровержения.