Пример 3. Упростить релейно-контактную схему и произвести ее анализ работы.
а) Для упрощения схемы записываем ее структурную формулу.
б) Затем полученную формулу упрощаем равносильным образом до минимального числа вхождения букв.
в) По полученной формуле восстанавливаем соответствующую ей схему. Эта схема работает также как первоначальная, но проще ее, т.к. содержит меньшее число контактов.
Решение:
Первое преобразование правило поглощения для каждой скобки, второе – применение распределительного закона, третье – группируем первую и третью конъюнкции и применяем распределительный закон, четвертое – применяем закон исключения третьего (в скобках), а затем тавтологию тавтологии.
Строим для полученной формулы схему:
Пример 4.
Анализ работы схемы можно произвести по первоначальной формуле, соответствующей этой схеме, но лучше работать с упрощенной формулой, т.к. это сопряжено с меньшими вычислениями. Для формулы составляется таблица истинности, которая показывает, при каких положениях контактов схема пропускает ток, а при каких нет.
| X | Y | Z | XÙZ | F (X,Y,Z) | |||
Вывод: Полученная электрическая схема работает следующим образом: ток в цепи есть, кроме двух случаев. Первый случай контакты X и Y разомкнуты, а контакт Z замкнут. Второй случай контакт X замкнут, а контакты Y и Z разомкнуты.
Пример 5.
Синтез релейно-контактных схем заключается в построении схемы по заданным условиям работы (по таблице истинности). Например, составить трехконтактную схему с одним входом и одним выходом. Таким образом, чтобы на выходе появился сигнал тогда и только тогда, когда любые два и только два из трех контактов замкнуты. Задача такого рода решается следующим образом:
1. Записываем условие работы схемы в таблицу.
2. С помощью таблицы строим формулу, соответствующую искомой схеме.
3. Эту схему упрощаем до минимального числа вхождения букв.
4. По полученной формуле воспроизводим схему.
Обозначим контакты искомой схемы через А, В, С.
Пусть F(А,B,C)- формула, соответствующая искомой схеме, запишем условие работы схемы в таблицу:
| А | В | С | F (А,В,С) |
Искомую формулу по таблице истинности можно выполнить двумя способами:
1 способ: единичных значений функции.
2 способ: нулевых значений функции.
Решим 1 способом.
· выбираем в таблице все те наборы значений переменных, при которых значение функции равно 1: (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)
· каждому выбранному набору значений переменных ставится в соответствии истинное логическое произведение переменных или их отрицаний:
· берем логическую сумму произведений, полученных выше. Это и будет искомая формула. Ее надо упростить, если это возможно.
Решим 2 способом.
· выбираем в таблице все те наборы значений переменных, при которых значение функции равно 0: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,1)
· каждому выбранному набору значений переменных ставится в соответствии логическая сумма переменных или их отрицаний, которая при данном наборе принимает значение 0:
·
· берем логическое произведение (конъюнкцию) всех сумм, полученных выше. Это и будет искомая формула. Ее надо упростить, если это возможно.
Упражнения.
№1. Какие из следующих шести теорем являются по отношению друг к другу обратными, противоположными, противоположным обратным?
Теорема1. Если каждое из двух натуральных чисел делится на 7, то их сумма делится на 7.
Теорема2. Если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 7, то и их сумма не делится на 7.
Теорема3. Если хотя бы одно из двух натуральных чисел делится на 7, то и их сумма делится на 7.
Теорема4. Если сумма двух чисел делится на 7, то каждое из слагаемых делится на 7.
Теорема5. Если сумма двух чисел не делится на 7, то ни одно из слагаемых не делится на 7.
Теорема6. Если сумма двух чисел не делится на 7, то хотя бы одно из слагаемых не делится на 7.
№2. Для следующих теорем сформулировать: противоположную, обратную, противоположную обратной теоремы
а) диагонали ромба делят его углы пополам;
б) если два угла треугольника равны, то такой треугольник равнобедренный.
№3. Записать с помощью логической символики следующие утверждения:
а) две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой;
б) если две прямые не параллельны, то они имеют общую точку.
№4. Доказать с помощью логической символики теорему о сумме углов треугольника.
№5. Записать аксиомы арифметики (аксиомы Пеано) при помощи логической символики.
№6. В приведенных предложениях вместо многоточия поставьте подходящие по смыслу слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». Получившиеся предложения должны быть истинными.
1) Для того чтобы число делилось на 4, …, чтобы оно было четным.
2) Для того чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 9.
3) Для того чтобы число делилось на 10, … чтобы оно оканчивалось нулем.
4) Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, …, чтобы каждое из них равнялось нулю.
5) Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, …, чтобы хоть одно из них равнялось нулю.
6) Чтобы умножить сумму нескольких чисел на какое-нибудь число, …, каждое слагаемое умножить на это число и произведения сложить.
7) Чтобы произведение нескольких чисел разделить на какое-нибудь число, …, разделить на это число только один из сомножителей и полученное частное умножить на остальные сомножители.
8) Для того чтобы сумма двух чисел была числом четным, …, чтобы каждое из слагаемых было четным числом.
9) Для того чтобы число делилось на 10, …, чтобы делилось на 5.
10) Для того чтобы число делилось на 6, …, чтобы делилось на 2 и на 3.
11) Для того чтобы число делилось на 12, …, чтобы делилось на 2 и на 3.
12) Чтобы четырехугольник был квадратом, …, чтобы все его стороны были равны.
13) Для того чтобы прямоугольник был квадратом, …, чтобы все его стороны были равны.
14) Чтобы периметр квадрата был равен 20 см, …, чтобы его сторона была равна 5 см.
15) Чтобы площадь прямоугольника была равна 20 см2, …, чтобы его стороны были равны 4 см и 5 см.
№7. Пусть высказывание р1Þ р2 истинно. Докажите, что всякое необходимое условие для р2 является необходимым условием для р1, а всякое достаточное условие для р1 является достаточным и для р2. Какие тавтологии при этом используются?
№8. Принципом полной дизъюнкции называется следующее правило: пусть имеют место две теоремы и известно, что условие по крайней мере одной из них выполняется, а их заключения взаимно исключают друг друга. Тогда верны теоремы, обратные данным. Запишите принцип полной дизъюнкции с помощью логической символики и проверьте его справедливость.
№9. На экзамене преподаватель предлагает студентам определить, какие из пяти утверждений истинны и какие из них ложны. Студент знает, что всегда преподаватель дает истинных утверждений больше, чем ложных, и никогда не задает подряд три вопроса, требующих одинакового ответа. Из содержания первого и последнего утверждений ему ясно, что ответы на них должны быть противоположными. Единственный вопрос, ответ на который он знает,—второй. Это уже гарантирует ему правильные ответы на все вопросы. Какими должны быть эти ответы?
№10. Некто А держит в руке (неизвестно в правой или левой) монету. Известно, что А всегда лжет или "всегда говорит правду (но неизвестно, что именно). Как с помощью единственного вопроса узнать, в какой руке находится монета?
№11.В следующих умозаключениях найдите посылки и заключение, установите состоятельность вывода.
1) В 1581 году Ермак начал освоение Сибири. В 1639 году Иван Москвитин достиг Охотского моря и первым из европейцев увидел с востока Тихий океан. В 1648 году Семен Дежнев вместе с Поповым, проплыв от устья Колымы в Тихий океан, обогнув Чукотский полуостров, открыл пролив между Азией и Америкой. Все это говорит о том, что наши соотечественники еще в XVI–XVII вв. прокладывали морские пути, обследовали далекие северные пути.
2) Крестьянская война 874–901 гг. в Китае потерпела поражение. Крестьянская война 1524–1526 гг. в Германии потерпела поражение. Потерпела поражение крестьянская война в России в XVII в. и крестьянская война под предводительством Емельяна Пугачева в 1773 –1775 гг. Следовательно, все крестьянские войны потерпели поражение.
3) В таможенной практике при определении кода товаров по товарной номенклатуре внешнеэкономической деятельности для получения необходимых данных о показателях больших партий некоторых видов товаров используют заключения по отдельно взятым пробам.
4) Следователю была вручена телефонограмма начальника милиции Климовского района Брянской области, старшего лейтенанта милиции Кравченко. В телефонограмме говорилось: «В воскресенье 18 ноября в 6 часов утра при смене сторожевой охраны склада консервного завода вступивший на дежурство сторож Игнатов при осмотре склада обнаружил пролом в стене, выходивший во двор завода. Наличие пролома и разбитые банки с продукцией завода, находящееся рядом с проломом, дают основание полагать, что была совершена кража».
5) Франция является республикой, Германия является республикой, Италия является республикой. Франция, Германия и Италия – европейские государства. Следовательно, все европейские государства являются республиками.
6) Диаметр Земли меньше диаметра Солнца, диаметр Меркурия меньше диаметра Солнца, диаметр Маркса меньше диаметра Солнца, следовательно, диаметры всех планет Солнечной системы меньше диаметра Солнца.
7) Первый студент из этой группы сдал зачет; второй студент из этой группы сдал зачет; третий студент из этой группы сдал зачет; четвертый студент из этой группы сдал зачет; пятый студент из этой группы сдал зачет; шестой студент из этой группы сдал зачет; седьмой студент из этой группы сдал зачет; восьмой студент из этой группы сдал зачет; девятый студент из этой группы сдал зачет; десятый студент из этой группы сдал зачет. Всего в группе десять студентов. Следовательно, все студенты данной группы сдали зачет.
8) Из 108 научно – фантастических идей Ж. Верна уже сбылись 64, принципиально осуществимы 84. Из 86 научно – фантастических идей Г. Уэллса ошибочны всего 9. Из 50 научно - фантастических идей А. Беляева ошибочны 3. Можно заключить, что многие идеи, высказанные писателями фантастами, являются научными догадками.
9) Попав на один из островов Курильской гряды, турист заметил, что встретившиеся один за другим источники были горячими. В своих рассказах друзьям о путешествии на Курильские острова турист заявил, что все источники там горячи.
10) Если из–под стеклянного купола выкачивать воздух, то звук электрического звонка, помещенного под купол, перестает быть слышимым. Следовательно, наличие воздуха является причиной распространения звука.
11) Европа, Азия, Америка и Австралия имеют значительное население. Следовательно, все материки Земли имеют значительное население.
12) Отец в этой семье – скрипач, мать – пианистка, старший сын - скрипач, младший – виолончелист, а дочь – арфистка. Значит, все члены этой семьи – музыканты.
13) Сербы говорят на славянском языке; словенцы, черногорцы – тоже; болгары – также говорят на славянском языке. Значит, все балканские народы говорят на славянских языках.
14) Демокрит выдвинул гипотезу об атомистическом строении вещества. Кант обосновал космогоническую гипотезу о происхождении планет. Лейбниц является основоположником дифференцированного и интегрального исчисления. Демокрит, Кант, Лейбниц – философы. Следовательно, все философы внесли значительный вклад в развитие естествознания.
15) Кафедра социальной и политической философии закрыта; кафедры социологии, истории, гражданского права и уголовного права тоже закрыты. Следовательно, все кафедры закрыты.
№ 12. Можно ли получить данные заключения с помощью полной индукции в следующих примерах:
1. Все футболисты сборной команды явились на тренировку. 2. Всякое механическое движение способно посредством трения превращаться в теплоту. 3. Все планеты Солнечной системы вращаются вокруг Солнца. 4. В природе ничто не совершается обособленно. 5. В репертуаре Большого театра России есть все балеты, музыку к которым написал П.И. Чайковский. 6. Счастливые часов не наблюдают. 7. На протяжении всего месяца в нашем городе шел дождь. 8. На всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная верх и равная весу вытесненной им жидкости. 9. Все цветы имеют запах. 10. Все студенты нашей группы являются отличниками. 11. Любви все возрасты покорны. 12. Все известные экономисты описывали экономические инструменты рыночного механизма. 13. Крупнейшие русские философы XIX века были идеалистами. 14. «Синичка в окно – будет известие». (народная предмета) 15. Все народные артисты России внесли вклад в искусство.
№ 13. Доказать истинность высказывания (неравенство Бернулли):
для каждого натурального n>1.
№14. Построить схемы, реализующие следующие логические операции:
а) импликацию;
б) эквиваленцию.
№ 15. Проверить равносильность схем.
№16. Упростить схему.
Ответы и указания к решениям.
Глава 1.
4. , 2n. 5. (2) . 10. {a, c}, {a, b, c}; не возможно, т.к. нет включения.
Глава 2.
1. а, б, в, д, з, и, к, н, о, п. 2.а) Луна – не спутник марса; в) 5£2; д) Существует простое чётное число. 4.А- истинно, В- ложно, С- истинно, D- ложно. 5. а) , б) , в) , г) . 6. а) ,б) , в) , г) .9. а) Да (любой день, кроме понедельника); б) нет. 10. Воспользуйтесь определениями импликации и эквиваленции. Например: импликация д)истинна, так как ее антецедент ложен; эквиваленция в) ложна, так как одно из составляющих ее высказываний истинно, а второе — ложно. 13. Ольга-первая, Мария- вторая, Полина- третья, и Нина-четвёртая.
Глава 3.
1. а, б, в, д. 2. а) от 3,б) от 0, в) от 1. 3. Все собаки обладают хорошим обонянием. 4. Ф(снег), где Ф(х) обозначает предикат, х – белый. 6. Любое множество чисел, кратных одновременно 3 и 5 либо не кратное ни 3, ни 5. 7. а) да, б) нет. 8. (х+3>3)Ú(х+3<-3). 9. "х"у (f1 (х, у) = 0 Û f2 (x, у) = 0). 13. а) Из второй следует первая; в) из первой не следует вторая, из второй не следует первая; д) из первой следует вторая, из второй следует первая.
Глава 4.
6. 1) необходимо, 2) достаточно, 3) н и д, 4) д, 5) н и д, 6) д, 7) д, 8) д, 9)н, 10) н и д, 11) н, 12) н, 13) н и д, 14) н и д, 15) д.
8. . 9. и, л, и, и, л. 10. Это можно сделать при помощи вопроса: «Верно ли,
что либо у тебя монета в правой руке, либо ты правдив?» Указание. Ввести два высказывания: p1 — монета в правой руке; р2 — А говорит правду и составить таблицу истинности искомого вопроса. 11. Пример. Свидетелями по делу Беляева являются граждане G., F., L., S. Во вторник были допрошены свидетели F. и L. (посылка), на следующий день – остальные свидетели (посылка). Следовательно, допрошены все свидетели по делу Беляева (заключение). Данный пример – умозаключение по полной индукции, вывод достоверен. 12. Пример. Всю неделю стояла жаркая погода.Можно, так как количество дней недели конечно и реально перечислимо.
Заключение
Настоящее исследование посвящено решению актуальной проблемы теории и методики обучения математике - формирование высокого уровня логической культуры учащихся.
В соответствии с поставленными целями перед данной выпускной квалификационной работой можно сделать следующие выводы:
1. Разработан учебный материал по изучению предмета «математическая логика в школьном курсе математики».
2. Предложена система заданий, содействующая более полному раскрытию связей между различными темами материала.
3. Рекомендуемая последовательность изложения материала учит сопоставлять новые факты с ранее изученным материалом и искать возможные применения новых знаний.
Данное учебное пособие лишь один из вариантов преподавания элементов математической логики в курсе основной школы. По данной теме сейчас активно ведется работа по всем направлениям, так как на данный момент осталось еще немало нерешенных проблем связанных с введением основ математической логики в основной школе.
Данная работа может быть рекомендована для практического применения студентами-практикантами математического факультета и учителям математики. Этот материал может использоваться как на уроках, так и на факультативных и кружковых занятиях.
Список литературы
1. Гохман А.В., Спивак М.А., Розен В.В. и др. Сборник задач по математической логике и алгебре множеств. (2-е изд.). Саратов: Саратовский ун-т, 1969.
2. Калужнин Л.А. Что такое математическая логика? М.: Наука, 1964.
3. Карри Х.Б. Основания математической логики. М.: Мир, 1969.
4. Клини С. Введение в метаматематику. М.: Иностр. литература, 1957.
5. Клини С. Математическая логика. М.: Мир, 1973.
6. Линдон Р. Заметки по логике. М.: Мир, 1968.
7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.
8. Никитин В.В. Сборник логических упражнений. Пособие для учителей математики. М.: Просвещение, 1970.
9. Новиков П.С. Элементы математической логики (2-е изд.). М.: Наука, 1973.
10. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика. М.: Наука, 1977.
11. Пензов Ю.Е. Элементы математической логики и теории множеств. Саратов: Сарат. ун-т, 1968.
12. Попов А.И. Введение в математическую логику. Л.: ЛГУ, 1959.
13. Попов Ю. И. Алгебра множеств и алгебра высказываний, Калининград, 1991.
14. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. Мн.: Высш. шк., 1965.
15. Столяр А.А. Логическое введение в математику. Мн.: Выш. шк., 1971.