Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера (или диаграммами Эйлера – Венна).
Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.
Рис. 1.
1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} и Y={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении пересечения. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.
X Y B1 B2
Рис. 2. Рис. 3.
Пусть даны множества B1={1; 2; 3} и B2={4; 5; 6}.
Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B1 и B2 находятся в отношении непересечения.
С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.
Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.
Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.
Определение 1.
Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.
Отношение “включено” обозначается знаком Ì. Соответственно отношение “включает” – знаком É. Определение 1 символически записывается так: ВÌА или АÉВ.
Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два множества: Ø и А, которые называются несобственными подмножествами множества. Все остальные подмножества (если они существуют) называются собственными подмножествами множества. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: ØÌ ВÌА, или иначе: АÉВÉ Ø.
4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.
Определение 2.
Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.
Определение 3.
Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.
Универсальное множество.
Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…
Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля.
1.2. Операции над множествами.
Рассмотрим некоторые операции над множествами.