Объединение множеств.

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 5.

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А È В, где È - символ объединения множеств. Определение 5 можно записать с помощью характеристического свойства:

 

С= А È В={xï xÎA или xÎB}. (4)

 

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

 

(5)

а также знаком дизъюнкции

 

х ÎА È В Þ хÎА Ú хÎВ. (5а)

 

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

 

(6)

или

 

x ÏAÈB Þ xÏA Ù xÏB. (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис.

8-11 (объединение заштриховано).

А

U

B

А

В

U

А

В

U

U

С=A=B

 

 

рис. 8 рис. 9 рис. 10 рис. 11

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

АÈА=А, АÈÆ=А, АÈU=U. (7)

 

Замечание1.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А₁Ç А₂Ç…Ç А_n={x ï xÎ" A_i, i= },

Где символ " (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A_i, которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Замечание 2.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

C= A₁ÈA₂È…ÈA_n={x ï xÎA₁ или xÎA₂ или …или xÎA_n}.

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки È и Ç и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).