Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если высказывание А истинно.
Отрицание высказывания А обозначается и читается «не А» или «неверно, что А». Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы:
| А | или | А | ||
| и | л | |||
| л | и |
Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.
Здесь цифрами 1 и 0 обозначены соответственно истинность и ложность высказывания.
Пусть А высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание
, которое называется двойным отрицанием высказывания А. Ясно, что логические значения высказываний и А совпадают.
Например, для высказывания «Река Волхов вытекает из озера Ильмень» отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов вытекает из озера Ильмень» или «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Волхов не вытекает из озера Ильмень».
2. Конъюнкция. (логическое умножение).
Конъюнкцией двух высказываний А, В называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания А, В истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно (т.е. в остальных случаях).
Конъюнкция высказываний А, В обозначается символом А&В или АÙВ, читается «А и В». Высказывания А, В называются членами конъюнкции. Все возможные логические значения конъюнкции двух высказываний А и В описываются следующей таблицей истинности.
| А | В | АÙВ |
Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.
Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далекие друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний. Например: «В огороде бузина и в Киеве дядька».
3. Дизъюнкция. (логическое сложение).
Дизъюнкцией двух высказываний А, В называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний А, В истинно, и ложным, если они оба ложны.
Дизъюнкция высказываний А, В обозначается символом А Ú В, читается «А или В». Высказывания А, В называются членами дизъюнкции. Все возможные логические значения дизъюнкции двух высказываний А и В описываются следующей таблицей истинности:
|
Например, высказывание «В треугольнике DFE угол D или угол E острый истинно, так как обязательно истинно одно из высказываний: «В треугольнике DFE угол D острый», «В треугольнике DFE угол E острый». В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.