Из свойств вероятности следует, что , таких что :
· ;
· ;
· ;
· ;
· ;
· ;
· ;
· ;
Дискретные распределения
Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
,
то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
.
Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .
Непрерывные распределения
Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:
,
и
,
а следовательно формулы имеют вид:
,
где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.
Абсолютно непрерывные распределения
Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:
.
Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и
.
Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей. В англоязычной литературе обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение .
Определение
Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .
Основные формулы для математического ожидания
· Если — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:
.