Теория вероятностей

Содержание

Оглавление

Теория вероятностей. 1

Основные понятия вероятностей:

Вероятность. 2

Вероятностное пространство. 4

Случайная величина. 5

Локальная теорема Муавра - Лапласа. 7

Функция распределения. 8

Математическое ожидание. 10

Диспресия случайной велечины.. 11

Независимость……………………………………………………………………………………………………12

Условная вероятность……………………………………………………………………………………………14

Закон больших чисел…………………………………………………………………………………………….15

Центральная предельная теорема. 16

 

 

Теория Вероятностей

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости,… Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство…  

Определение

— это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками; — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями; — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Конечные вероятностные пространства

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого… Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных… ,

Пространство элементарных событий

· — грань с одной точкой; · — грань с двумя точками; · ...

Алгебра событий

1. содержит пустое множество . 2. Если событие принадлежит , то и его дополнение принадлежит . С помощью… 3. Если и принадлежат , то их объединение также принадлежит . С помощью кванторов это записывается следующим…

Вероятность

, то считается, что заданы вероятности элементарных событий . Вероятность… Рассмотрим пример определения вероятности различных случайных событий. Например, если событие является пустым…

Определение случайной величины

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом[4]. Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел …   Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при…

Тождества

· ; · ; · ;

Математическое ожидание дискретного распределения

· Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение

,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание целочисленной величины

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию…

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

.   Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от…

Определение

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание.

Свойства

· Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание; · Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно… · Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

Независимость

Независимые события Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство . Определение 1. Два события независимы, если

Определения

Определение, данное выше, эквивалентно любому другому из нижеперечисленных. Две случайные величины независимы тогда и только тогда, когда: · Для любых :

Свойства независимых случайных величин

где обозначает (прямое) произведение мер. · Пусть — кумулятивные функции распределения соответственно. Тогда независимы тогда и только тогда, когда

Условная вероятность

Определения Пусть — фиксированное вероятностное пространство. Пусть два случайных…  

Усиленый закон больших чисел

. Тогда почти всегда. То есть

Центральная предельная теорема

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают… Классическая Ц.П.Т Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное…