Решение

Применяя алгоритм Евклида, получим

1) х⁴ + 3х³ + 3х² + 3х + 2 х⁴ + х³ – 3х² + 4

х⁴ х³ ± 3х² 4 1

2х³ + 6х² + 3х – 2

2) 2(х⁴ + х³ – 3х² + 4) = 2х⁴ + 2х³ – 6х² + 8 2х³ + 6х² + 3х – 2

2х⁴ 6х³3х² ± 2х х – 2

– 4х³ – 9х² + 2х + 8

± 4х³ ±12х² ± 6х4

3х² + 8х + 4

3) 3(2х³ + 6х² + 3х – 2) = 6х³ + 18х² + 9х – 6 3х² + 8х + 4

6х³ 16х² 8х 2х +

2х² + х – 6

4) 3х² + 8х + 4 х + 2

3х² 6х 3х + 2

2х + 4

2х + 4

Следовательно, многочлен (х + 2) является НОД числителя и знаменателя данной дроби. При этом,

х⁴ + 3х³ + 3х² + 3х + 2 х + 2

х⁴ 2х³ х³ + х² + х + 1

х³ + 3х² + 3х + 2

х³ 2х²

х² + 3х + 2

х² 2х

х + 2

х 2

х⁴ + х³ – 3х² + 4 х + 2

х⁴ +2х³ х³ – х² – х + 2

– х³ – 3х² + 4

± х³ ± 2х²

– х² + 4

± х² ± 2х

2х ± 4

2х + 4

Таким образом,

Ответ: