Содержание лекции Дифференциал функции. Производные высших порядков
| Казахская Головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал Математика I ФОЕНП Кредит 3 1 семестр Тема: «Производные высших порядков» 2012-2013 уч. год |
Содержание лекции
Дифференциал функции.
Пусть функция 
дифференцируема на отрезке 
. Производная этой функции в некоторой точке 
отрезка определяется равенством 
. Отношение 
при 
стремится к определенному числу 
и, следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую: 
, где 
при . Умножая все члены последнего равенства на 
, получим: 
, где 
- бесконечно малая величина. Произведение 
называют дифференциалом функции и обозначают через 
или 
. Если функция имеет производную в точке , то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом :
или 
(6)
Производные высших порядков. Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке . Значение производной зависят от . Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции 
. Производная от первой производной называется производной второго порядка от первоначальной функции и обозначается символом 
или 
.
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается через 
или 
.
Производной 
-го порядка от функции называется производная от производной 
-го порядка и обозначается символом 
или 
: 
.
Пусть 
, пройденный поступательно движущимся телом, в зависимости от времени 
выражается формулой 
; Как известно, 
. Ускорением в данный момент называется предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда последнее стремится к нулю: 
или 
но, так как то
, т.е. ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени.
Задание на СРС:
1. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля (корни производной), Лагранжа (конечные приращения), Коши (отношения приращения)).[1,2-с.163]
2. ИДЗ-стр.291-299, № 4-7.[3] (Срок сдачи по графику)
Задание на СРСП:
1. Правило Лопиталя .Формула Тейлора и Маклорена [1,2]
Контрольные вопросы:
- Производные неявной функции.
- Производные функции, заданной параметрически.
- Касательная к кривой; Нормаль к кривой.
- Дифференциал функции.
Задачи:
№1. Найти 
, если: а) 
Ответ: 
.
б) 
Ответ: 
.
№2. Найти 
, если:
а) 
Ответ: 
.
б) 
Ответ: 
.
№3. Найти тангенсы углов наклона касательных к кривым: 
, 
при 
. Сделать чертеж. Ответ:-1.
№4. Найти дифференциалы функции:
а) 
Ответ: 
б) 
Ответ: 
№5. Найти производные третьего порядка
а) 
Ответ: 
б) 
Ответ: 
№6. Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Ответ: Касательная 
; нормаль 
.
№7. Дана функция 
. Найти dy -?
№8. Дана функция 
. Найти 
.
Глоссарий
| Казахский | Русский | Английский |
| Туынды Айқындалған Жанама Нормаль Қисық Дифференциал Түрлендіру, жіктеу | Производная Явная Касательная Нормаль Кривая Дифференциал Разложение |
Используемая литература.
Основная:
1. Н.С. Пискунов. «Дифференциальное и интегральное исчисления» для ВТУЗов, 1 том, М.:Наука, 2001
2. А.П. Рябушко «Индивидуальные задания по высшей математике». Минск, высшая школа, 2002
Дополнительная:
3. Г.Н. Берман. «Сборник задач по курсу математического анализа». М.Наука, 2002