Содержание лекции Дифференциал функции. Производные высших порядков

Казахская Головная архитектурно-строительная академия Активный раздаточный материал Математика I ФОЕНП Кредит 3 1 семестр Тема: «Производные высших порядков» 2012-2013 уч. год

 

Содержание лекции

Дифференциал функции.

Пусть функция дифференцируема на отрезке . Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством . Отношение при стремится к определенному числу и, следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую: , где при . Умножая все члены последнего равенства на , получим: , где - бесконечно малая величина. Произведение называют дифференциалом функции и обозначают через или . Если функция имеет производную в точке , то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом :

или (6)

Производные высших порядков. Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке . Значение производной зависят от . Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции . Производная от первой производной называется производной второго порядка от первоначальной функции и обозначается символом или .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается через или .

Производной -го порядка от функции называется производная от производной -го порядка и обозначается символом или : .

Пусть , пройденный поступательно движущимся телом, в зависимости от времени выражается формулой ; Как известно, . Ускорением в данный момент называется предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда последнее стремится к нулю: или но, так как то

, т.е. ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени.

 

Задание на СРС:

1. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля (корни производной), Лагранжа (конечные приращения), Коши (отношения приращения)).[1,2-с.163]

2. ИДЗ-стр.291-299, № 4-7.[3] (Срок сдачи по графику)

Задание на СРСП:

1. Правило Лопиталя .Формула Тейлора и Маклорена [1,2]

Контрольные вопросы:

1. Производные неявной функции.
2. Производные функции, заданной параметрически.
3. Касательная к кривой; Нормаль к кривой.
4. Дифференциал функции.

Задачи:

№1. Найти , если: а) Ответ: .

б) Ответ: .

№2. Найти , если:

а) Ответ: .

б) Ответ: .

№3. Найти тангенсы углов наклона касательных к кривым: , при . Сделать чертеж. Ответ:-1.

№4. Найти дифференциалы функции:

а) Ответ:

б) Ответ:

№5. Найти производные третьего порядка

а) Ответ:

б) Ответ:

№6. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке Ответ: Касательная ; нормаль .

№7. Дана функция . Найти dy -?

№8. Дана функция . Найти .

 

Глоссарий

Казахский	Русский	Английский
Туынды Айқындалған Жанама Нормаль Қисық Дифференциал Түрлендіру, жіктеу	Производная Явная Касательная Нормаль Кривая Дифференциал Разложение

 

Используемая литература.

Основная:

1. Н.С. Пискунов. «Дифференциальное и интегральное исчисления» для ВТУЗов, 1 том, М.:Наука, 2001

2. А.П. Рябушко «Индивидуальные задания по высшей математике». Минск, высшая школа, 2002

Дополнительная:

3. Г.Н. Берман. «Сборник задач по курсу математического анализа». М.Наука, 2002