Теорема умножения вероятностей

Событие А называется независимым от события В, если вероятность осуществления события А не зависит от того произошло событие В или нет.

Например,при повторении бросания игральной кости вероятность выпадения цифры 1 (событие А) не зависит от появления или не появления цифры 1 при первом бросании кости (событие В).

Событие А называется зависимым от события В, если его вероятность меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Например,если в урне находятся черные и белые шары, то вероятность повторного появления черного шара (событие А будет зависеть от того, какой шар вынули первый раз.

В случае зависимых событий А и В вводится понятие условной вероятности, под которой понимается вероятность события А при условии, что событие В произошло. Обозначается Р(А/В).

♦ Пример 4.5

В урне находится 10 шаров: 3 белых и 7 черных, Первым был вынут черный шар, найти вероятность того, что второй шар будет черным.

Решение:

Вероятность появления черного шара первый раз (событие В) равно Р{В) = 7/10; а вероятность появления его второй раз (событие А), при условии, что событие В произошло, равно Р(А/В)=6/19, т.к. в урне осталось 9 шаров, из них 2 черных.

Рассмотрим закон умножения вероятностей для независимых событий.

Произведением двух событий А и В называют событие С = А*В, состоящее в совместном осуществлении этих событий.

Теорема. Вероятность произведения 2 независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АиВ) = Р(АхВ) = Р(А) *Р(В).

Этот закон справедлив и для п независимых событий.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие осуществилось.

Р(А иВ) = Р(АхВ) = Р{А) • Р(В/А). (4.7)

Формула умножения вероятностей может быть обобщена на случайл событий А_1, А₂, ..., А_п:

 

Причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.

♦ Пример 4.6

В группе из 20 человек, 5 студентов не подготовили задание. Какова вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад, будут не готовы к ответу.

Решение:

Вероятность того, что первый студент не готов к ответу Р{А) - 5/20, вероятность того, что и второй студент также не подготовлен, как и первый, Р(В/А) = 4/19, тогда для ответа на вопрос воспользуемся формулой:

 

События А₁,А₂...,А_п называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие, равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,..., А_п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А₁,А₂,...,А_п, т.е.

♦ Пример 4.9

В трех театральных кассах продаются билеты. Вероятность наличия билетов за час до начала спектакля в первом театре равна 0,7, в кассе второго - 0,3, а в кассе третьего - 0,5. Какова вероятность того, что за час до начала спектакля имеется возможность купить билет хотя бы в одной кассе.

Решение:

Событие А - возможность купить билеты хотя бы в одной кассе. Тогда событие противоположное обозначим А . Оно наступит тогда, когда наступит событие А₁А₂А_п Тогда

Р(А) = 1-Р(А₁)Р(А₂)...Р(А_п)= 1-0,3 0,7 0,5=0,895.