Обратная матрица. Теоремы о существовании и единственности. Алгоритм получения обратной матрицы.

Обратная матрицы служит для решения матричных уравнений и заменяет операцию деления матриц.

Обратной к квадратной матрице А_п называется матрица А_п^-1, которая при умножении на исходную, как справа, так и слева, даёт единичную матрицу.

Порядок:

Существование обратной матрицы:

Если для матрицы А существует обратная, то

Доказательство:

Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, или особенной.

Вырожденная матрица не имеет обратной.

Вычисление обратной матрицы:

Для любой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, элементы которой вычисляются по формуле:

Доказательство:

Проверим справедливость определения квадратной матрицы:

 

Эта теорема даёт возможность получения обратной матрицы при помощи присоединённой:

Обратная матрица равна произведению присоединённой на величину, обратную определителю матрицы А.

Свойства операции обращения:

1. (АВ)^-1=В^-1А^-1

2. (аА)^-1=а^-1А^-1

3. (А^-1)^-1=А

4. (А^Т)^-1=(А^-1)^Т

Решение простейших линейных матричных уравнений:

1.

2.

3.

4.

5. – Не решаемо.