Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в т.х₀ , то она непрерывна в этой точке.

Док-во. Согласно определению производной

y’= lim ∆y/∆x

∆x→0

согласно теореме о связи предела с БМ величинами

 

y’= ∆y/∆x + α׀ *∆x

∆xy’=∆y+∆x+α(∆x)

если ∆x→0. то и∆y→0.т.е.непрерывна

Непрерывна в т. х₀ функция y’=f(x) не обязательно дифференцируема в этой точке