Осн.правила диф-ния ф-ции одной переменной:
1.Производная постоянной равна нулю,т.е. с’=0.
2.Произв.арг-та равна 1,т.к. х’=1.
3.Произв-я алгебрач.суммы конечного ч-ла дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций, т.е. (u+ν)’=u’+ ν’.
4.Произв.произведений 2-х дифференц-х ф-ций (uν)’=u’ν+uν’.
Следствие1:Пост.множ-ль можно выносить за знак производной: (cu)’=cu’.
Следствие2: (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’
Доказательство:Пусть u=u(x) и ν=ν(x) – дифференцируемые ф-ции. Найдём производную ф-ции y=uν.
1º.Дадим аргументу х приращение ∆х≠0. Тогда ф-ции u и ν получат наращенные зн-я u+∆u и ν+∆ν, а ф-ция y – значение y+∆y=(u+∆u)(ν+∆ν).
2º.Найдём приращ.ф-ции
∆y=(u+∆u)(ν+∆ν)-uν = uν + ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν-uν = ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν.
3º.Составим отношение ∆y/∆x, кот.представим в виде
∆y/∆x=(∆y/∆x)ν + u(∆ν/∆x) + (∆u/∆x)(∆ν/∆x)∆x.
4º.Найдём предел этого отнош-я при ∆х→0, используя теоремы о пределах
lim∆x→0∆y/∆x= lim∆x→0(∆u/∆x)ν + u lim∆x→0(∆ν/∆x) + lim∆x→0(∆u/∆x)∙lim∆x→0(∆ν/∆x)∙lim∆x→0∆x.
На основании опр-я производной получили,что y’=u’ν+uν’+u’ν’∙0 или y’=u’ν+uν’.чтд.
5.Производная частного двух дифференцируемых ф-ций м.б.найдена по ф-ле:
(u/ν)’=(u’ν-uν’)/ν2. (ν≠0).