Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Опр:В-р Х наз-ся собственным в-ром квадр.м-цы А, если он не нулевой и удовлетворяет ур-еА_nx1* Х_nx1=Y_* X_nx1,где Y-собств.зн-е квадр.м-цы А.коллинеарный в-р.

Число Y наз-ся собственным зн-ем оператора А^~ (м-цы А),соответствующим в-ру Х.

Метод вычисления собств.зн-ий и собств.в-ров.Т.к. Х_nx1=Е_{nx1 *} Х_nx1, то АХ=YEX ~ AX-YEX=0 ~ (A-YE)X=0. Если _^ = |A-YE|=0,то т.к.все _^1=0, сист.ур-ий имеет бескон.много реш.в этом сл-е (0/0).

Ур-е |A-YE|=0 – характеристическое ур-е м-цы. Из него находим Y и далее по ур-нию (A-YE)X=0 находим соотв.ненул.в-р Х.

Св-ва собств.зн-ний м-цы А: 1)Произвед-е собств-х зн-ний м-цы А равно её определителю |А|=Y₁,Y₂,...,Y_n.

2)Число отличных от нуля собств.зн-ний м-цы А = её рангу.

3)Все собств.зн-я м-цы отличны от 0 тогда и только тогда,когда м-ца А невырожд.

4)Если Yне=0 – собств.зн-е невырожд.м-цы А,то Y-1=1/Y – собств.зн-е обрат.м-цы А^-1. 5)Если Y – собств.зн-е м-цы А,то Y^m-собств.зн-е м-цы А^m, где m – натур.ч-ло.

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

8. Система лин.ур-ний:

А_mxn*Х_nx1=В_mx1 <=> (ф.1)

(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+ а_nx_n=b₁

(a₂₁x₁+a₂₁x₂+… +a_2nx_n=b₂

(….

(а_mx₁+а_2mx₂+… +а_mnх_n=b_m

Вматричной формесистема имеет вид АХ=В, где

(а₁₁ a₁₂ ... a_1n)

A= (a₂₁ a₂₂ ... a_2n)