Теорема.Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции при значении верхнего предела.
Φ(x)= x⌠f(x)dx = x⌠f(t)dt
a a
Φ’(x ) =f(x)
Док-во Φ’(x )=lim ∆φ/∆x= lim φ(x+∆x)- φ(x)/ ∆x= lim x+∆x ∫а f(t)dt-x⌠а f(t)dt/ ∆x = lim x⌠ f(t)dt+
+ x+∆x ⌠f(t)dt- x⌠ f(t)dt/∆x = lim (x+∆x-x)*f(ξ)/ ∆x = lim f(ξ)= f(x)
a a
Т.о. Φ(x)- это первообразная для f(x). Две первообразные для одной функции отличаются на константу..
x⌠ f(t)dt = F(x)+C
a