Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сх-ся как сам данный ряд, так и ряд составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам данный ряд сх-ся, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов рас-ся.

Св-ва абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются, так абс. Сходящиеся ряды напоминают конечные суммы, их можно складывать, умножать и т.д., а вот условно сходящиеся ряды этими св-вами не обладают.

1-1/2+1/3-1/4…. Условно сх-ся.

48. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции у=е^x (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

Св-во степ.рядов: Пусть ф-ция f(x) явл-ся суммой степ.ряда,т.е. f(x)=^∞∑_n=0c_nxⁿ. На любом отрезке [а;b], целиком принадлежащем интервалу сх-ти (-R;R), ф-ция f(x) явл-ся непрерывной, а след-но, степ.ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

_а∫^b f(x)dx = _а∫^bc₀dx + _а∫^bc₁xdx + … + _а∫^bc_nxⁿdx +…

Кроме того, в интервале сх-ти степ.ряд можно дифференцировать:

f’(x) = c₁ + 2c₂x + 3c₃x² + ... + nc_nx^n-1 + ...

После интегрирования или дифференцирования ряды имеют тот же радиус сх-ти R.

Ряд Маклорена а(х) = а(0) + f’(0)х + ((f’’(0))/2!)х² + ((f’’’(0))/3!)x³ + .. + ((f⁽ⁿ⁾(0))/n!) xn + ..

Так же для числовых рядов, сумму f(x) ряда Маклорна можно представить в виде

f (x)=S _n (x) + r _n (х) ,где S_n(x)- n-я частичная сумма ряда; r_n(x) - n-й остаток ряда.

Разложение в ряд Маклорена ф-ции у=е^х.

1. у=е^х

Имеем а(х) = f’(х) = f’’(х) = .. = f⁽ⁿ⁾(x) = e^x

f(0) = f’(0) =f’’(0) = .. = а⁽ⁿ⁾(0) = e⁰=1.

По ф-ле е^х= 1 + х + х²/2! + х³/3! + … + хⁿ/n! + …

Область сх-ти ряда (-∞;∞).

50.Разложение в ряд Маклорена функции y= (1+x)^m Вывод. Интервал сходимости полученного ряда.

y= (1+x)^m, где m – любое действительное число

f(x) = (1+x)^m

f’(x) = m+(1+x)^m-1

f”(x) = m(m-1)(1+x)^m-2

f”’(x) = m(m-1)(m-2)(1+x)^m-2

f⁽ⁿ⁾(x) = m(m-1)….(m-n+1)(1+x)^m-n

при x=0

f(0) = 1

f’(0) = m

f”(0)= m(m-1)

f”’(0)= m(m-1)(m-2)

f⁽ⁿ⁾ (0) = m(m-1)….(m-n+1)

 

(1+x)^m = 1+mx+m(m-1)/2!x² + m(m-1)(m-2)/3!x³ +…..+ m(m-1)(m-n+1)/n!xⁿ

Интервал сх-ти ряда (-1;1)