Ф-лы Крамера решения с-м из n ур-ний с n неизв.

Рассм.сист.из n ур-й с n незв.,которая в матричном виде м.б. записана А_nxnХ_nx1=В_nx1.

Обозначим опред-ль м-цы системы |А|=_^. Если (опред-ль м-цы) _^не=0,то сист.имеет ед.реш. х_i=^i/_^, i=1...n, где _^1,_^2, _^3,..._^n побочные опред-ли. Когда находят _^1,то в м-це системы 1-ый ст-ц заменяет ст-ц своб.чл. Для определению _^2 в м-це сист.2-ой ст.заменяют ст.св.чл-в.

Для вычисл._^3 в м-це с-мы 3-й ст.заменяют ст.св.чл-в. Затем находят х₁,х₂,х₃ по ф-ле х_i=^i/_^.

Замечание: (Из метода гаусса 0_*Х_n=0,то бескон.мн.реш. Формально Х_n=0/0 – неопред.)

Если _^=0 и все _^i=0 (i=1,...n),то сист.имеет бескон.мн.реш(кот.устан.мет.Гауса). Если _^=0 и хотя бы один из _^i не=0 (5/0-нельзя),то с-ма не совместна,т.е.не имеет реш.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Пусть _^ - опред-ль м-цы с-мы А, а _^j – опред-ль м-цы, получаемый из м-цы А заменой j-го ст-ца ст-цом св.чл-в. Тогда,если _^не=0,то с-ма имеет единств.реш.,определяемое по ф-лам: Х_j=^j/_^ (j=1,2,...,n). Ф-лы получ.назв.ф-мул Крамера.

Обр.м-ца А^-1=1/|A| _*A^~, где А^~ - м-ца,присоед.к м-це А.Т.к. эл-ты м-цы А~ есть алгебраич.доп-я эл-в м-цы А’,трансп-й к А, то

(х₁) (А₁₁ А₁₂ … А_n1) (b₁)

(х2) (А₁₂ А₂₂ … А_n2) (b₂)

(…) = 1/|А| (… ) (…)

(х_n) (А_1n А_2n …А_nn) (b_n)

 

Учитывая, что |А|=^,получим после умнож.м-ц

 

(х₁) (b₁А₁₁+ b₂А₁₂+ … + b_nА_n1)

(х₂) (b₁А₁₂+ b₂А₂₂+ … + b_nА_n2)

(…) = 1/^ (… )

(х_n) (b₁А_1n+ b₂А_2n+ … + b_nА_nn)

откуда следует, что для любого j(j=1,2,…,n) Х_j=1/_^ (b₁A_1j + b₂A_2j + .. + b_nA_nj).

b₁А_1j + b₂А_2j + .. + b_nА_nj = _^j, где _^j- опред-ль м-цы,получ.из м-цы А заменой j-го ст-ца (j = 1,2,..,n) ст-м св.чл-в. След-но, Х_j=^j/_^. чтд