Теорема1.Если числовая последовательность{ an } монотонна и ограниченна, то она имеет предел.
Теорема2.Если в некоторой окрестности точки х0 функция заключена между двумя функциями φ(х) и ψ(х), имеющими одинаковый предел А при x→х0 (x→∞.),то функция имеет тот же предел А.
Пусть приx→х0 lim φ(х)=А, lim ψ (х)=А
Это означает, что для любого Е>0 найдется такое число σ>0, что для всех х≠х0 и удовлетворяющих условию |х- х0|< σ
Будут верны одновременно нер-ва
|φ(х)-А|<Е, | ψ (х)-А|<Е
если А-Е< φ(х) <А+Е, А-Е< ψ (х) <А+Е
Т.к. по условию функция заключена между 2-мя функциями, т.е. φ(х) <f(x) < ψ (х)
То из нер-в следует, что А-Е< f(x) <А+Е, т.е. |f(x)-A|<E
А это и означает, что lim f(x)=А