Определение. Число векторов в базисе векторного пространства называется его размерностью.
Обозначение: – размерность векторного пространства V.
Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими определениями, имеем:
1) – векторное пространство векторов прямой L.
– базис , , , – разложение вектора по базису ,
12. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.
То есть, если ранг матрицы равен r, то среди миноров матрицы порядка r есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры матрицы более высоких порядков равны нулю.
Обозначаем Rg A, rg A, rank A.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы. То есть, если ранг матрицы равен r, то среди строк (столбцов) матрицы есть rлинейно независимых строк (столбцов), а любые r +1 строки (столбца) — линейно зависимы.
Матрицы, имеющие одинаковый ранг — подобные матрицы.
Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.
13. Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.
Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.
Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.
14. Подпространство, действительно, можно задать двумя способами, двойственными по отношению друг к другу.
Первый способ - через линейную оболочку - насколько я понимаю, ясен. Второй способ (через СЛАУ): пусть . Вектор принадлежит тогда и только тогда, когда , где - некоторые коэффициенты. Это равенство представляет собой СЛАУ с расширенной матрицей, в которой правая часть - это координаты вектора . Существование коэффициентов равносильно разрешимости этой системы. Исследовав совместность системы методом Гаусса, получим необходимые и достаточные условия ее разрешимости: это будут линейные соотношения относительно . Это и есть искомая система, задающая подпространство .
При решении задач полезно знать оба эти способа, поскольку иногда удобнее первый, а иногда - второй.
Обобщение на многообразия проведите самостоятельно.
15. Число k называется размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.
Обозначается dimL= k. Пространство L называется k- мерным. Иногда обозначается Lk.