Если U1 и U2 - линейные подпространства линейного пространства K V, то сумма линейных подпространств
также является линейным подпространством. Действительно, если , , , , то
Замечание 9.12.1. U1+U2 - наименьшее линейное подпространство среди линейных подпространств, содержащих одновременно U1 и U2. Более того,
Замечание 9.12.2. Если U, U1, U2, U3 - линейные подпространства в K V, то
17. Пересечение линейных подпространств
Лемма 9.11.1. Пересечение
любого семейства линейных подпространств линейного пространства K V является линейным подпространством.
Доказательство. Если , , то для любого , поэтому для любого , т. е. .
Следствие 9.11.2. Если U1 и U2 - линейные подпространства линейного пространства K V, то - линейное подпространство в {K V (наибольшее подпространство среди подпространств, лежащих одновременно в U1 и в U2 ).