Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называют величину несобственного интеграла (если он сходится):

М(Х)= .

Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(x) является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

D(Х)= .

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Для непрерывной случайной величины среднее квадратическое отклонение s(Х) определяется, как и для дискретной величины, формулой s(Х) = .

Пример 9.11.Случайная величина X задана плотностью вероятности

Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

Решение. Согласно определениям математического ожидания непрерывной случайной величины и дисперсии непрерывной случайной величины имеем

М(Х)= =

D(Х)= ₌==

и, наконец, s(Х) = .

4. Модаx_mod, медианаx_med и p-квантиль x_p случайной величины.

Модой x_mod случайной величины называется значение, для которого вероятность p_i (для дискретной случайной величины X) или плотность f(x) (для непрерывной случайной величины X) достигает локального или абсолютного максимума.

Медианой x_med случайной величины X называется значение, для которого выполняется условие p{X<x_med}=p{X≥x_med}. Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин. Для дискретных случайных величин это понятие вводится с известной долей условности.

В точке x=x_med площадь фигуры, ограниченная кривой y=f(x) графика плотности распределения и осью OX делится на две равные по площади фигуры.

p-Квантилью x_p случайной величины X называется значение, для которого выполняется условие p{X<x_p}=F(x_p)=p. Очевидно, что медиана – это квантиль x_0,5.