Некоторые законы распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение.Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 - р.

Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А наступит т раз (m£п).

Пусть событие А наступило в первых т испытаниях т раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов. При этом вероятность каждого сложного события равна: ртqn-т. Так как эти сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Рп(т) есть вероятность появления события А т раз в п испытаниях, то

Рп(т) = ртqn-т

или

Рп(т) = ртqn-т. (9.15)

Формулу (9.15) называют формулой Бернулли.

Пример 9.12.Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найдем вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение, а) В данном случае п = 4, т = 3, p= 0,9, q=1-р= 0,1. Применим формулу Бернулли (9.15):

Р4(3) = ×(0,9)3×0,1 =0,2916.

б) Искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей Р(А) = Р4(3) + Р4(4). Но Р4(4) = (0,9)4= 0,6561. Поэтому Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

Снова рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события А в п испытаниях.

Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить п раз. Следовательно, возможными значениями величины А будут числа 0, 1, 2, ..., п - 1, п. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:

Рп(0) = qn

Рп(1) = р qn-1

……

Рп(т) = ртqn-т.

Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:

X ... т ... n
р qn р qn-1 … рт qn-m ... рn

Построенный закон распределения дискретной случайной вели­чины X называют законом биномиального распределения.

Найдем М(Х). Очевидно, что Хi — число появлений события А в каждом испытании — представляет собой случайную величину со следующим распределением:

Xi
рi q р

Поэтому М(Xi) =0×q+ 1×р = р. Но так как X = Х1 + ... +Хn, то М(X) =np.

Найдем далее D(Х) и s(Х). Так как величина Xi2 имеет распределение

Xi2 02 12
рi

то М(Xi2) =02×q+ 12×р = р. Поэтому D(Xi)= М(Xi2)- М2 (Xi)= р-p2 = р(1-p)= pq.

Наконец, в силу независимости величин Х1, Х2, ..., Хn,

D(X)= D(X1)+ D(X2)+ ... + D(Xn)= npq.

Отсюда s(Х)=

Пример 9.13.Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. Вероятность появления герба при каждом бросании монеты р=½. Следовательно, вероятность непоявления герба q =1-½=½. Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и р = ½. Поэтому

М(X) =np=100×½=50; D(X)= npq=100×½×½=25; s(Х)== =5.

Пример 9.14.Допустим, что для хищника вероятность поимки отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Каково ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?

Решение. Это пример биномиального распределения при n=20 и р=0,4. Ожидаемое число есть М(Х) - пр = 20×0,4 = 8.