Формула Бейеса.

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) величины Р(В_k), k=1, 2, …, n?

Найдем условную вероятность Р_A(В_k). По теореме умножения вероятностей и формуле (8.5) (см. п. 2) имеем

Р(AВ_k)= Р(A) Р_A (В_k)= .

Отсюда

 

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

 

(8.9)

 

Формулу (8.9) называют формулой Бейеса. (Томас Бейес, или Байес, (1702—1761) - английский математик)

Пример 8.31. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31 % и 48 %. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно­сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Решение. Введем обозначения для событий:

А — случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно­сосудистое заболевание;

В₁ — человек придерживался специальной диеты;

В₂ — человек принадлежал к контрольной группе.

Имеем== 0,5, =0,31, =0,48.

Согласно формуле полной вероятности Р(A)=0,5×0,31+0,5×0,48=0,395.

и, наконец, в силу формулы (8.9) искомая вероятность