Задача 9.

Элементы корреляционного анализа.

По 14-ти предприятиям городского хозяйства (i-порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц (у млн.руб.) и уровне механизации труда (х, %). Статистические данные

приведены в таблице.

Для выявления наличия корреляционной связи между объемом продукции

и уровнем механизации труда требуется:

1) измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента

корреляции рангов Спирмена;

2) проверить его достоверность на уровне значимости α= 0,05;

 

С помощью выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена оценивается теснота связи между двумя качественными переменными X и Y. Этот коэффициент применяется и в случае количественных переменных, ес­ли заранее не гарантируется нормальность распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Выборочный коэффициент служит точечной оценкой генерального ко­эффициента ранговой корреляции . Коэффициенты и изменяются от минус единицы до плюс единицы. Чем ближе к 1, тем теснее связь между переменными X и Y.

 

1. Для того чтобы вычислить коэффициент ранговой корреляции , нужно сначала провести ранжировку объектов и получить две согласованные последовательности рангов.

Расположим наблюдаемые пары в порядке невозрастания качества по показателю X:

Затем пронумеруем объекты (числа) в каждой из строк в порядке неубывания. Рангом объекта называется его номер в ранжировке. Получим следующую таблицу:

	9		8	10	11

В первой ранжировке обведены группы объектов, имеющих одинаковое качество по переменной X; во второй ранжировке единообразно отмечены объекты, имеющие одинаковое качество по переменной Y.

Далее объектам одинакового качества присваиваем средние ранги (средние арифметические порядковых номеров этих объектов). В результате получим две согласованные последовательности рангов:

	1,5	1,5	3,5	3,5			7,5	7,5					13,5	14,5
		7,5	7,5
	-8,5	-6	-4	-6,5	-5	-8	1,5	-5,5					1,5	13,5

В последней строке записаны разности рангов .

Найдем сумму квадратов разностей рангов: =670,5 и по известной формуле вычислим выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

2) Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена на заданном уровне значимости α выдвигается гипотеза Н_о об отсутствии ранговой корреляционной связи:

.

Для проверки выдвинутой гипотезы используется статистика Стьюдента

,

где п - число пар (x_i, y_i) в выборке.

При условии справедливости гипотезы H₀ случайная величина Т имеет известное t -распределение Стьюдента с к=п-2 степенями свободы.

Зная , вычисляем наблюдаемое значение статистики Стьюдента:

и число степеней свободы к = п - 2 = 12.

По таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторон­ней критической области находим критическую точку статистики Стьюдента (см. например [4]),

.

Критерий проверки:

1.Если , то гипотеза H₀ сохраняется (ранговая корреляционная связь практически отсутствует);

2.Если , то гипотеза Н₀ отвергается (существует значимая корреляционная связь между переменными X и Y).

В нашем случае Т_набл = 1,863 <=2,18, поэтому в соответствие с крите­рием проверки заключаем, что незначимо отличается от нуля, т.е. ранговая корреляционная связь практически отсутствует.